и в расширенной двоичной записи на ленте она будет выглядеть следующим образом
… 00000101001101000011000000….
Для этой конкретной пары чисел двоичная форма записи не дает никакого выигрыша по сравнению с унарной. Предположим, однако, что мы берем для вычислений (десятичные) числа 1 583 169 и 8610. В двоичной записи они имеют вид
110000010100001000001,
10000110100010.
На ленте при расширенном двоичном кодировании им будет соответствовать последовательность
… 001010000001001000001000000101101000001010010000100110
которая занимает менее двух строк, тогда как для унарной записи пары чисел «1 583 169, 8610» не хватило бы места на страницах этой книги!
Машину Тьюринга, выполняющую алгоритм Евклида для чисел, записанных в расширенной двоичной форме, при желании можно получить из EUC с помощью пары дополнительных алгоритмов, которые переводили бы числа из расширенной двоичной формы в унарную и обратно. Однако, такой подход чрезвычайно неэффективен, ибо громоздкость унарной системы записи была бы по-прежнему «внутренне» присуща всему устройству, что проявилось бы в его низком быстродействии и потребности в огромном количестве «черновиков» (на левой стороне ленты). Можно построить и более эффективную машину Тьюринга для алгоритма Евклида, оперирующую исключительно расширенными двоичными числами, но для понимания принципов ее работы это не особенно важно.
Для того чтобы показать, каким образом машина Тьюринга может работать с числами в расширенном двоичном представлении, обратимся к значительно более простой, чем алгоритм Евклида, процедуре — просто прибавлению единицы к произвольному натуральному числу. Ее можно выполнить с помощью следующей машины Тьюринга (которую я назову XN + 1):
0 0 → 0 0R
0 1 → 1 1R
1 0 → 0 0R
1 1 → 10 1R
10 0 → 11 0L
10 1 → 10 1R
11 0 → 10 1.STOP
11 1 → 100 0L
100 0 → 101 1L
100 1 → 100 1L
101 0 → 110 0R
101 1 → 10 1R
110 1 → 111 1R
111 0 → 11 1R
111 1 → 111 0R
И вновь некоторые дотошные читатели могут захотеть проверить, вправду ли эта машина Тьюринга действует так, как должна, если взять, скажем, число 167. Это число имеет двоичное представление 10100111 и записывается на ленте как
…0000100100010101011000…
Чтобы прибавить единицу к двоичному числу, мы просто находим в его записи последний нуль и меняем его на единицу, а все непосредственно следующие за ним единицы — на нули. Так что
167 + 1 = 168
в двоичной форме записывается в виде
10100111 + 1 = 10101000.
Таким образом, наша «прибавляющая единицу» машина Тьюринга должна превратить предыдущую запись на ленте в
… 0000100100100001100000
что она и делает.
Обратите внимание, что даже самая простая операция прибавления единицы в такой записи выглядит довольно сложно, включая в себя 15 инструкций и восемь различных внутренних состояний! Конечно, в случае унарной записи все было значительно проще, поскольку тогда «прибавление единицы» означало удлинение строчки единиц еще на одну, поэтому не удивительно, что машина UN +1 была более простой. Однако, для очень больших чисел UN + 1 была бы слишком медленной из-за чрезмерной длины ленты, и тогда более сложная машина XN + 1, но работающая с более компактным расширенным двоичным представлением, оказалась бы предпочтительнее.
Несколько отступая в сторону, я укажу операцию, для которой машина Тьюринга проще в расширенной двоичной, нежели в унарной форме — это умножение на два. Действительно, машина Тьюринга XN х 2, заданная в виде
0 0 → 0 0R
0 1 → 1 0R
1 0→ 0 1R
1 1 → 10 0R
10 0 → 11 1R
11 0 → 0 1.STOP
запросто выполнит эту операцию в расширенной двоичной форме, тогда как соответствующая унарная машина UN х 2, описанная ранее, гораздо сложнее!