Рекурсивно нумеруемые множества
Существует способ для описания основных результатов, полученных Геделем и Тьюрингом, в графическом виде, на языке теории множеств. Это позволит нам избежать произвольности описания в терминах конкретного символизма или в рамках формальной системы и выделить наиболее существенное. Мы будем рассматривать только множества натуральных чисел (конечные или бесконечные), такие как {4,5,8}, {0,57,100003}, {6}, {0}, {1,2,3,4….,9999}, {1,2, 3,4…. }, {0,2,4,6,8…. } ит. п.; или даже все множество N = {0,1,2,3,4… }, равно как и пустое множество ø = {}. Нас будут интересовать только вопросы вычислимости, скажем: «Какие множества натуральных чисел могут быть сгенерированы с помощью алгоритма, а какие — нет?»
Чтобы сформулировать такой вопрос, мы можем считать, что каждое отдельное число n обозначает определенную строчку символов некоторой формальной системы.
Это будет n - я строка символов, скажем, Q n , согласно заданному в системе лексикографическому порядку («синтаксически корректных») утверждений. Тогда каждое натуральное число будет представлять некое утверждение. При этом множество всех утверждений формальной системы соответствует всему множеству натуральных чисел; а, допустим, теоремы этой системы будут составлять некоторое меньшее множество натуральных чисел, скажем, множество Р . Однако детали произвольной системы нумерации утверждений для нас несущественны. Все, что нам потребуется для установления соответствия между натуральными числами и утверждениями — это заданный алгоритм получения каждого утверждения Q n (записанного должным образом в символических обозначениях) из отвечающего ему натурального числа n ; и другой алгоритм для получения n из Q n . Имея эти алгоритмы в своем распоряжении, мы вольны идентифицировать множество натуральных чисел с множеством утверждений конкретной формальной системы.
Давайте выберем формальную систему достаточно непротиворечивую и широкую для того, чтобы включать в себя все действия всех машин Тьюринга — и, более того, «имеющую смысл» с учетом требования «самоочевидной справедливости» ее аксиом и правил вывода. Далее, пусть ряд утверждений Q 0, Q 1, Q 2 …. формальной системы имеет доказательства внутри системы. Эти «доказуемые» утверждения будут иметь номера, которые составляют некоторое множество в N — по сути, это множество Р «теорем», рассмотренных выше. Мы уже видели, что существует алгоритм для последовательного построения всех утверждений произвольно заданной формальной системы, имеющих доказательства. (Как отмечено ранее, « n - е доказательство» П n получается из n алгоритмически. Все, что нам надо — это посмотреть на последнюю строчку n - го доказательства, чтобы найти « n - е утверждение, доказуемое в рамках системы», т. е. n - ю«теорему».) Следовательно, мы имеем алгоритм последовательной генерации элементов Р (при которой возможны и повторения, что для нас не важно).
Множество типа Р , которое может быть построено с помощью некоторого алгоритма, называется рекурсивно нумеруемым. Заметьте, что множество утверждений, ложность которых может быть установлена в рамках системы — т. е. утверждений, чьи отрицания являются справедливыми — точно так же рекурсивно нумеруемо, поэтому мы можем просто нумеровать доказуемые утверждения по мере продвижения, учитывая и их отрицания. Есть большое число других, тоже рекурсивно нумеруемых, подмножеств N , для определения которых нам вовсе необязательно ссылаться на нашу формальную систему. Простыми примерами рекурсивно нумеруемых множеств могут служить множество четных чисел