u = 1 + i 1,3, v = - 2 + i, w = - 1,5— i 0,4.
Рис. 3.9.Расположение чисел u = 1 + i1,3 , v = - 2 + i , ω = - 1,5 — i0,4 на плоскости Аргана
Теперь основные алгебраические операции сложения и умножения комплексных чисел приобретают ясную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим сначала сложение. Предположим, что u и v это два комплексных числа, представленные на плоскости Аргана в соответствии с описанной выше схемой. Тогда сумма этих двух чисел u + v представляется «векторной суммой» двух точек, то есть точка u + v находится на месте недостающей вершины параллелограмма, образованного точками u , v и началом координат 0 . Нетрудно убедиться, что эта конструкция (рис. 3.10) действительно дает сумму двух чисел, но соответствующее доказательство я здесь опускаю.
Рис. 3.10.Сумма u + v двух комплексных чисел определяется по правилу параллелограмма
Произведение uv двух комплексных чисел тоже имеет простую, хотя и, быть может, несколько менее очевидную геометрическую интерпретацию (рис. 3.11). (Я опять опускаю доказательство.)
Рис. 3.11.Произведение uv двух комплексных чисел u и v — это такое число, что треугольник, образованный точками 0 , v и uv , подобен треугольнику, образованному точками 0 , 1 и u . То же самое можно сформулировать иначе: расстояние точки uv от 0 равно произведению расстояний от 0 до точек u и v , а угол между uv и действительной (горизонтальной) осью равен сумме углов между этой осью и отрезками к точкам и и v
Угол при начале координат между 1 и uv равен сумме углов между 1 и v и между 1 и u (все углы измеряются против часовой стрелки), а расстояние точки uv от начала координат равно произведению расстояний от начала координат до u и v . Это эквивалентно утверждению, что треугольник, образованный точками 0 , v и uv подобен (и ориентирован подобно) треугольнику, образованному точками 0 , 1 и u . (Энергичные читатели, не знакомые с такого рода построениями, могут сами убедиться в том, что эти построения непосредственно следуют из только что приведенных алгебраических правил сложения и умножения комплексных чисел, также как и упомянутые выше тригонометрические тождества.)
Построение множества Мандельброта
Теперь мы можем рассмотреть, как определяется множество Мандельброта. Пусть z — это некоторое произвольное комплексное число. Каковым бы ни было это число, оно представляется некоторой точкой на плоскости Аргана. Рассмотрим теперь отображение, при котором z превращается в новое комплексное число, равное
z → z 2+ с ,
где с есть некое фиксированное (то есть заданное) комплексное число. Числу z 2+ с будет сопоставляться некоторая другая точка на плоскости Аргана. Например, если с равно числу 1,63— i4,2, то z отображается согласно формуле
z → z 2+ 1,63— i4,2,
так что, в частности, число 3 превратится в
З 2+ 1,63 — i4,2= 9+ 1,63 — i4,2= 10,63 — i4,2,
а число - 2,7+ i0,3в
(- 2,7+ i0,3) 2 + 1,63 — i4,2=
= (- 2,7) 2 — ( 0,3) 2 + 1,63+
+ i{(- 2,7)( 0,3) — 4,2} = 8,83 — i5,82.
Когда числа становятся громоздкими, вычисления лучше выполнять на компьютере.
Теперь, каково бы ни было число c , число 0 превращается, согласно принятой схеме, в число с . А что же можно сказать о самом числе с ? Оно превращается в с 2+ с . Давайте продолжим этот процесс, применив наше преобразование к с 2+ с . Мы получим:
( с 2+ с) 2 + с= с+ 2 с+ с 2+ с.
Снова повторим отображение, применив его к приведенному выше числу. Мы получим:
( с 4+ 2 с 3+ с 2+ с) 2 + с=
= с 8+ 4с 7+ 6 с 6+ 6с 5+ 5с 4+ 2 с 3+ с 2+ с.