Одновременно возникла математика и у индийцев. После похода Александра Македонского в Индию на границе этой страны были основаны небольшие греческие государства. Через их посредство Греция поддерживала торговые отношения и обмен знаниями с народами Индии.
Еще в IV веке до н. э. строителям жертвенников в Индии были известны свойства катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Индийцы сформулировали их в следующем выражении: «Диагональ прямоугольника производит то, что производят отдельно длинная и короткая стороны прямоугольника», то-есть им была известна теорема Пифагора.
Позднее именно индийцы придумали знаки для обозначения чисел и нуля, которые были заимствованы у них арабами, а от них перешли как «арабские» в Европу. Индийцам принадлежит и честь изобретения «позиционной» системы написания чисел: в ней каждая цифра обозначает десятки, сотни и так далее, в зависимости от места.
В V–VI веках н. э. дроби изображались индийцами так же, как и теперь: вверху — числитель, внизу — знаменатель; только они не были разделены чертой.
Математики Индии уже противопоставляли положительным величинам отрицательные, над которыми для отличия ставилась точка. Они признавали отрицательные корни уравнений, считавшиеся недопустимыми даже в III–IV веках знаменитым греческим математиком Диофантом.
Положительным количествам, «имуществу», они противопоставляли отрицательные— «долг».
Задачи индийских математиков большей частью имели необычайную для нас форму. Вот, например, одна из них:
«Из пчелиного роя 1/4 опустилась на один цветок, а 2/3 полетело на другой цветок. Одна пчела, равно привлекаемая сладостным благоуханием обоих цветков, жужжит в воздухе. Скажи мне, прелестная женщина, сколько было всего пчел?»
Решение этих задач требовало знания уравнений как первой степени, так и квадратных, которые уже были известны индийцам.
Греческие философы поняли практическое значение математики, как только познакомились с геометрией в Египте.
Философ Фалес (конец VII — начало VI века до н. э.) и его ученик Анаксимандр (около 610–546 до н. э.) уже применяли свои геометрические познания к решению астрономических задач.
Первые греческие математики обладали лишь элементарными познаниями. Фалесу были известны свойства равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов (то-есть образованных пересечением двух линий и лежащих друг против друга), деление на две равные части круга его диаметром. Эти знания он заимствовал у египетских жрецов.
«Побывав в Египте, — гласит старинное греческое предание, — Фалес привез в Элладу геометрию. Многое он открыл сам, зачатки многого передал своим преемникам». Но, заимствовав математические познания у египтян и вавилонян, греки стремились развить их, привести в систему и лишить ореола таинственности.
Совсем иное направление дал математике один из учеников Фалеса, прославленный Пифагор (около 580–500 до н. э.).
Пифагор долгое время прожил в Египте и путешествовал по Вавилонии. Общаясь с жрецами этих стран, он заимствовал от них не только познания в геометрии и арифметике. Его заинтересовала также магия — «колдовское» искусство, тесно связанное с религиозными предрассудками. Он увлекался и астрологией — ложной наукой предсказания будущего по положению на небесной сфере светил.
Пифагор поддался влиянию мистицизма жрецов, наложившего отпечаток на его философское учение. Даже математика в его изложении имела мистический характер.
Числа, обозначающие лишь величину или количество, получили в глазах пифагорейцев какое-то особенное значение. В них видели «начало» всех вещей природы, которое было предметом поисков греческих философов. Им приписывалось «совершенство» и «несовершенство» и другие качества, свойственные телам природы. Число 6 считалось пифагорейцами воплощением оживления, 7 — здоровья, 8 — дружбы, и так далее.
Пифагорейская мистика чисел в течение ряда веков действовала на воображение ученых Европы.
Предание связало с именем Пифагора известную теорему о равенстве площади квадрата, построенного на гипотенузе, сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника.
Письменного доказательства открытия этой теоремы Пифагором не осталось. Но вероятно, что он первый сформулировал в виде теоремы эмпирический вывод из практики кровельщиков, плотников, строителей и «натягивателей веревок» — землемеров.