Поэтому теоремы Analysis Situs имеют ту особенность, что они остались бы справедливыми, если бы фигуры чертились неискусной рукой, которая грубо искажала бы все пропорции и заменяла бы прямые более или менее извилистыми линиями. Выражаясь математически, они не менялись бы от какого бы то ни было «точечного преобразования». Часто говорили, что метрическая геометрия — геометрия количественная, тогда как проективная геометрия — геометрия чисто качественная; это не совсем верно: то, что отличает прямую от других линий, это — еще свойства, остающиеся в некоторых отношениях количественными. Следовательно, настоящая качественная геометрия есть Analysis Situs.
Те же самые вопросы, которые возникали по поводу истин евклидовой геометрии, снова возникают относительно теорем Analysis Situs. Можно ли их получить путем дедуктивного рассуждения? Не являются ли они скрытыми соглашениями? Или они суть экспериментальные истины? Являются ли они свойствами формы, наложенной на нашу чувственность или на наш разум?
Я просто замечу, что два последних решения исключают друг друга; это не всегда ясно сознавали. Мы не можем допустить одновременно, что невозможно представить себе пространство четырех измерений и что опыт доказывает нам, что пространство имеет три измерения. Экспериментатор ставит природе вопрос: то или другое? — И он не может ставить его, не представляя себе в то же время двух сторон альтернативы. Если бы невозможно было представить себе одну из этих сторон, то было бы бесполезно да и невозможно обращаться к опыту. Мы не нуждаемся в наблюдении для того, чтобы знать, что часовая стрелка не стоит на 15-м делении циферблата, потому что мы заранее знаем, что делений только 12, и мы не могли бы взглянуть на 15-е деление, чтобы проверить, находится ли там стрелка, потому что такого деления нет.
Заметим также, что здесь эмпирики свободны от одного из самых сильных возражений, какое можно направить против них, — от возражения, которое заранее делает совершенно напрасными все их усилия приложить свой тезис к истинам евклидовой геометрии. Эти истины строги, а всякий опыт может быть только приближенным. В Analysis Situs бывает достаточно и приближенных опытов, чтобы дать строгую теорему; например, если мы видим, что пространство не может иметь ни двух или менее двух измерений, ни четырех или более четырех измерений, то мы уверены, что оно имеет их три, ибо не может иметь два с половиной или три с половиной.
Из всех теорем Analysis Situs самая важная — та, которая выражается словами: пространство имеет три измерения. Этой теоремой мы сейчас займемся, причем поставим вопрос в таком виде: что мы хотим сказать, когда говорим, что пространство имеет три измерения?
В «Науке и гипотезе»[30] я выяснил, откуда у нас появляется понятие физической непрерывности и как из него могло возникнуть понятие математической непрерывности. Случается, что мы бываем способны отличать друг от друга два впечатления, не будучи в состоянии отличить каждое из них от одного и того же третьего. Так мы легко можем отличить вес 12 граммов от веса 10 граммов, тогда как невозможно отличить вес 11 граммов ни от того, ни от другого.
Подобное утверждение символически можно представить так:
A = В, B = C, A < C.
Это была бы формула физической непрерывности, как дает ее нам непосредственный опыт. Происходящее отсюда нетерпимое противоречие устраняется введением математической непрерывности. Эта последняя представляет собой лестницу с бесконечно большим числом ступеней (числа соизмеримые или несоизмеримые), причем эти ступени занимают по отношению друг к другу внешнее положение, а не захватывают друг друга, как это имеет место, сообразно с предыдущей формулой, между элементами физической непрерывности.
Физическая непрерывность есть, так сказать, неразрешенная (неразложенная на составные элементы) туманность, и самые совершенные инструменты не могли бы разрешить ее. Конечно, если бы мы определяли вес с помощью хороших весов, а не просто рукою, то мы бы отличили вес 11 граммов от весов 10 и 12 граммов, и тогда наша формула представилась бы так:
A < B, B < C, A < C.
Но между A и B и между В и С всегда нашлись бы такие новые элементы D и E, что
A = D, D = B, A < B; B = E, E = C, B < C;
трудность только передвинулась бы; туманность всегда оставалась бы неразрешенной; разрешить ее может только мышление — и математическая непрерывность есть именно туманность, разрешенная на отдельные звезды.