Другой источник разногласия возникает в способе понимания определений. Существуют определения многих видов; прямое определение может быть сделано как no genus proximum et differentiam specificam[94], так и по построению.
Отметим попутно, что имеются определения, неполные в этом смысле: они определяют не один индивидуум, но сразу целый род; они законны, и именно они являются определениями, которыми чаще всего пользуются. Но, следуя прагматистам, под ними нужно дополнительно понимать совокупность индивидуумов, которые удовлетворяют определению и которые можно полностью определить конечным числом слов; для канторианцев это ограничение является искусственным и лишенным значения.
Если бы были только прямые определения, то бессилие чистой логики было бы неоспоримо. В этом случае можно было бы в любом предложении заменить каждый из его членов определением; если бы произвели такую подстановку, то или предложение не свелось бы к тождеству, и тогда оно было бы недоступно чисто логическому доказательству, или же оно свелось бы к тождеству, и тогда оно было бы не чем иным, как тавтологией, более или менее искусно замаскированной.
Но мы имеем еще другой вид определений: определения через постулат. Обычно мы будем знать, что определяемый объект принадлежит к некоторому роду, но когда дело пойдет о том, чтобы высказать специфическое различие, то его выскажут не прямо, а с помощью «постулата», которому должен удовлетворять определяемый объект. Именно таким образом математики могут определить количество x посредством явного уравнения x = f(y) или неявного F(x, y) = 0.
Определение через постулат имеет значение только тогда, когда доказано существование определяемого объекта; на языке математики это означает, что постулат не содержит противоречий; этим условием мы не имеем права пренебрегать; нужно либо предположить отсутствие противоречия как интуитивную истину, как аксиому, с помощью некоторого акта веры, но тогда нужно отдавать себе отчет в том, что делаешь, и знать, что увеличен список недоказуемых аксиом; либо же следует построить доказательство по правилам: или с помощью примера или применить рекуррентное рассуждение. Это не значит, что такое доказательство было бы менее необходимо в случае прямого определения, но оно в этом случае более просто.
Некоторые прагматисты окажутся более требовательными: чтобы рассматривать определение как законное, им недостаточно того, чтобы оно не приводило к противоречию в терминах, им еще будет нужно, чтобы оно имело смысл с той особой их точки зрения, которую я пытался определить выше.
Как бы то ни было, но останется ли логика бесполезной после введения определений через постулаты? Мы не можем при задании предложения заменить в нем некоторый член через его определение; все, что мы можем сделать, — это исключить этот член при помощи предложения и постулата, служащего ему определением. Если эта операция, сделанная, как говорят, по правилам логического исключения, не приводит нас к тождеству, то это показывает, что предложение недоказуемо посредством чистой логики; если она приводит к тождеству, то это значит, что оно только тавтология. Нам не нужно ничего изменять в наших предыдущих заключениях.