φ1(Х) = 0, φ2(Х) = 0.
Каким образом можно убедиться, что как в одной, так и в другой X совершенно одно и то же? Если бы в одном выражении фигурировало X, а в другом X', то оба утверждения записались бы в виде
φ1(Х) = 0, φ2(Х') = 0.
и не были бы противоречащими друг другу.
Почему же прагматисты делают такое возражение? Потому, что род G представляется только как совокупность, которая может бесконечно увеличиваться по мере того, как будут строиться новые индивидуумы, обладающие необходимыми свойствами. Таким образом, никогда нельзя считать, что G ne varietur (неизменно), как это делают канторианцы, и никогда нельзя быть уверенным в том, что путем новых прибавлений оно не превратится в G'.
Я старался объяснить, как только мог, ясно и беспристрастно, в чем заключается расхождение между двумя школами математиков, и мне кажется, что мы уже замечаем действительную причину. Ученые этих двух школ имеют противоположное направление мыслей: те, которых я назвал прагматистами, — идеалисты, канторианцы же — реалисты.
Одно обстоятельство укрепит нас в нашей точке зрения. Мы видим, что канторианцы (да простят мне это удобное название, хотя я и хочу говорить здесь не о математиках, следующих взглядам Кантора, может быть, даже не о философах, ссылающихся на него, но только о тех, кто независимо от него имеет те же тенденции), что канторианцы, говорю я, постоянно говорят об эпистемологии[95], т. е. об учении о науках, и хорошо известно, что эта эпистемология совершенно независима от психологии, т. е. что она учит нас, чем бы была наука, если бы не было ученых. Мы должны изучать эту науку, конечно, не предполагая, что ученых нет, но по крайней мере не предполагая, что они есть. Таким образом, не только природа есть реальность, независимая от физика, который стремится ее изучить, но и сама физика есть реальность, которая существовала бы и тогда, когда не было бы физика. В этом ведь и заключается реализм.
Почему прагматисты отказываются признавать объекты, которые нельзя определить конечным числом слов? Потому что они считают, что объект существует, только когда о нем подумали, и что нельзя сознавать мыслимый объект независимо от мыслящего. А в этом-то и заключается идеализм. И так как мыслящим является человек или что-либо похожее на человека, следовательно, существо конечное, то бесконечность и не может иметь другого смысла, кроме возможности создать столько конечных предметов, сколько нам угодно.
В этом случае можно сделать довольно любопытное замечание. Реалисты обычно встают на физическую точку зрения: независимое существование они приписывают материальным объектам или индивидуальным душам, или тому, что они называют субстанциями. Мир для них существовал до сотворения человека и даже ранее всех живых существ и существовал бы и в том случае, если бы не было ни бога и никакой другой мыслящей сущности. Это точка зрения здравого смысла, и только размышление может заставить отказаться от нее. Сторонники физического реализма — обычно финитисты; в вопросе о канторовских антиномиях они принимают тезы, они считают, что мир ограничен. Таков, например, взгляд Эвеллина. Напротив, идеалисты не имеют таких предрассудков и близки к тому, чтобы подписаться под антитезами.
Но канторианцы — реалисты именно в том, что относится к сущностям математики; эти сущности кажутся им имеющими независимое существование; геометр их не создает, он их открывает. Эти объекты, так сказать, существуют, не существуя, так как они сводятся к чистым отвлечениям; но поскольку по природе своей эти объекты бесконечны числом, то сторонники математического реализма — гораздо более инфинитисты, чем идеалисты; их бесконечность не есть будущее, так как она предшествует в своем существовании открывшему ее уму; принимают ли они ее или отрицают, они должны верить в действительную бесконечность.
Мы узнаем в этом теорию идей Платона. Может показаться странным видеть Платона среди реалистов, однако пока нет ничего более противоположного современному идеализму, чем платонизм, хотя эта доктрина в то же время очень далека от физического реализма.
Я никогда не знал математика, большего реалиста в платоновском смысле, чем Эрмит, и, однако, я должен признаться, что я не встречал человека, более непокорного учению Кантора. В этом есть кажущееся противоречие, тем более, что он часто повторял: я антиканторианец, потому что я реалист. Он упрекал Кантора за то, что тот создавал объекты вместо того, чтобы удовлетворяться тем, чтобы их открывать. Без сомнения, вследствие своих религиозных убеждений, он считал грешным желание в полной мере проникнуть в область, объять которую может один бог, и не дожидаться, пока он сам откроет нам эти тайны поодиночке. Он сравнивал математические науки с естественными науками. Натуралист, который попытался бы отгадать секрет бога, вместо того, чтобы обратиться к опыту, казался ему не только самонадеянным, но и не почтительным к божественному величию. Канторианты, казалось ему, стремятся действовать именно так в математике. Поэтому-то он, реалист в теории, был идеалистом на практике. Существует познаваемая реальность, она вне нас и не зависит от нас; но все то, что мы можем о ней знать, зависит от нас — это не что иное, как будущее, некоторого рода наслаивание последовательных побед. Остаток реален, но вечно непознаваем.
95
Пуанкаре в данном контексте использует понятие «эпистемология» не в традиционном его понимании (теория познания, гносеология), а для обозначения воззрений логицистов. Говоря о «реализме» канторианцев, он подчеркивает платонистский характер истолковывания ими математических объектов. Например, Г. Фреге заявлял, что математик, подобно географу, открывает математические сущности, которые существуют так же, как материки и острова. Платонистский «привкус» канторовской теоретико-множественной установки раскрывает Г. И. Рузавин «Легко обнаружить сходство между божественным миром идей Платона, куда он помещает математические сущности, и внемировым бытием Кантора, где реализуется актуальная бесконечность Но дело не только в идейном и терминологическом сходстве Платонистская концепция в неявном виде содержится в самих основах «наивной», неканторовской теории множеств» (