Solutionis modum Diophantus non exprimit, aut græca corrupta sunt. Bachetus[30] casu adjutum Diophantum arbitratur, quod tamen non admittimus, cum Diophantæam methodum non difficilem inventu existimemus, inveniendus quadratus binario major ternario minor qui à ternario subtractus relinquat numerum in tres cubos dividendum. Ponatur quæsiti quadrati latus esse quemlibet numerorum numerum — unitate v. g. [verbi gratia] 1.N — 1. ipsius quadratus à ternario subtractus relinquit 2 — 1Q + 2N. cui inveniendi tres cubi æquales qui sic effingendi ut æqualitas tandem consistat inter duas tantum species proximas, id quidem innumeris modis construi potest. Sit unius ex cubis latus 1 — 1/3N. alterius (ut numerus numerorum in ambobus cubis conficiat 2N.) sit 1 + 1N. tertii latus in numeris dumtaxat fingendum, qui etiam ne valor 1N. quæsitos terminos evadat, debent notari signo defectus, nec est operosum eum numerum numerorum sumere cuius valor æquationem ad præstitutos redigat terminos, hoc peracto patet primum ex cubis esse minorem unitate ut quærebamus, cum igitur secundus sit major et tertius signo defectfus notetur, patet differentiam secundi et tertij æquandam esse duobus cubis quam ob rationem ad secundam operationenm et Diophantus et nos devolvimur.
Habemus autem, inquit, in porismatibus omnium duorum cuborum intervallum componi ex duobus cubis.
Hæret iterum Bachetus[31] et destitutus porismatibus Diophanteis, hanc quæstionem secundam determinatione indigere contendit, duorum quippè cuborum intervallum eâ tantum conditione in duos cubos dividere docet dummodo maior datorum cuborum excelat duplum minoris. Nam quomodo omnium duorum cuborum intervallum dividatur in duos cubos ignotum sibi ingenuè profitetur. Nos supra ad quæstionem libri 4. secundam, et hanc et reliquas huius materiæ quæstiones generaliter construendi modum fæliciter deteximus.
Перевод:
Либо греческий текст испорчен, либо Диофант не изложил способа решения. Баше полагал, что Диофанту помог случай, однако мы не можем этого допустить, так как мы думаем, что метод Диофанта нетрудно отыскать.
Требуется найти квадрат, больший двух и меньший трех, такой, что по вычитании его из трех получается число, которое представляется суммой трех кубов.
Возьмем в качестве стороны искомого квадрата некоторое число X минус 1, например X — 1. Если отнять от трех квадрат этого, то останется
2 — X2 + 2X,
которое нужно представить в виде суммы трех кубов так, чтобы получилось равенство между двумя членами, имеющими последующие степени.
Это можно сделать бесконечным числом способов: пусть сторона одного из кубов будет 1 — 1/3X, другого же 1 + X (чтобы в сумме этих двух кубов член первого порядка было бы 2X); сторона третьего куба должна состоять из одного члена, содержащего X, который к тому же надо снабдить знаком минус, чтобы значение X оставалось в намеченных пределах; нетрудно выбрать коэффициент этого члена, содержащего X, так, чтобы решение действительно лежало внутри пределов, о которых шла речь.
После того, как это сделано, ясно, что наш первый куб будет меньше единицы, как это было желательно; напротив того, второй больше, а третий снабжен знаком минус; нужно найти два куба, сумма которых равнялась бы разности второго и третьего; мы придем, таким образом, как и Диофант, ко второй операции.
„Из «Поризмов» мы имеем, — говорит он, — что разность всяких двух кубов равна сумме двух кубов“.
Здесь Баше вновь находится в затруднении, и, поскольку «Поризмов» Диофанта у него нет, он считает, что задача возможна только при некоторых ограничениях; он учит, как разложить на два куба разность двух кубов, но только при условии, что больший из заданных кубов превосходит удвоенный меньший. Он откровенно признается, что не знает, как можно в общем случае разложить на два куба разность двух произвольных кубов. Мы изложили выше по поводу задачи IV2 общее решение этого вопроса, а также других, относящихся к тому же предмету.
OBSERVATIO D. P. F
XXIX (p. 249)
Ad quæstionem XXIV Libri V.
Invenire tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quovis ipsorum adscito, quadratum faciat. Ponatur solidus ille 1Q. et quærantur tres quadrati quorum quilibet adscitâ unitate faciat quadratum. Hoc autem peti potest a quovis triangulo rectangulo. Expono tria triangula rectangula, et accipiens quadratum unius laterum circa rectum, divido eum per quadratum alterius laterum circa rectum, et invenio quadratos, unum (9/16)Q, alterum (25/144)Q, tertium (64/225)Q, et quilibet ipsorum cum 1Q facit quadratum. Restat ut solidus sub tribus contentus æequetur 1Q. Est autem solidus ille (14400/518400)CC. hoc aquatur 1Q. et omnia ad eumdem denominatorem reducendo, et dividendo per 1Q, fiunt (14400/5184001484)QQ æqualia 1. et latus lateri æquatur, fitque (120/720)Q æquale 1. Est autem unitas quadratus. Quod si etiam (120/720)Q quadratus esset, soluta fuisset quæstio. Non est autem. Eo igitur redactus sum, ut inveniam tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub basibus faciat quadratum* cujus latus sit numerus multiplicatione ortus laterum circa rectum unius triangulorum. Et si omnia diviserimus per productum ex lateribus circa rectum inventi rectanguli, orietur qui fit ex producto laterum circa rectum secundi in productum laterum circa rectum alterius triangulorum. Et si unum ipsorum statuanius 3. 4. 5. eo deventum est ut inveniantur duo triangula rectangula ut productus ex lateribus circa rectum producti ex lateribus circa rectum sit 12N. Proinde et area areæ 12. Si autem 12 et 3. Hoc autem facile est et est simile huic 9. 40. 41. Alterum* 5. 12. 13. (* legendum est 8. 15. 17). Habentes ergo tria triangula rectangula, revertamur ad initio propositum. Et statuamus trium quæitorum quadratorum, alterum 9, alterum 25, tertium 81, et si solidum ex his æquemus 1Q, fiet 1N rationalis. Ad positiones.*
Methodum Diophanti quain non percepit Bachetus[32] ita restituo, et explico. Quoniam primum triangulum est 3. 4 5 et rectangulum sub lateribus 12. eò deventum est, inquit Diophantus, ut inveniantur duo triangula ut productus ex lateribus circa rectum, prodacti ex lateribus circa rectum sit duodecuplus (et ratio est quia tune productum ex lateribus unius in productum ex lateribus alterius producet numerum qui erit planus similis 12 atque ideo eorum mutuâ multiplicatione fiet quadratus, quod vult propositio) sequitur Diophantus, Proinde et area areæ 12.[33] quod per se clarum est. Deinde (si autem 12 et 3) quia dividendo 12. per quadratunm 4 fit 3. et semper in multiplicatione oritur quadratum, nam quadratum divisum per quadratum facit quadratum. Reliqua Diophanti non præstant propositum, sed ita restituemus. In hoc casu[34] fingatur triangulum abs 7. et 2. alterum vero abs 5. et 2. et primum triangulorum erit triplum ad secundum, et duo proposito satisfacient. Regula autem generalis inveniendi duo trianlgula rectangaula in ratione datâ hæc est. Sit data ratio R. ad S. maioris ad minus, maius triangulum formabitur abs R bis + S et R. — S. Minus vero abs R. + S. bis et R. — S. aliter. Formetur primum triangulum abs R bis — S et R + S. secundum abs S bis — R. et R + S. aliter. Formetur primum triangulum abs R sexies Et R bis — S, secundum abs R quater + S et R quater — S. bis, aliter formetur primum triangulum abs R + S. quater et R bis — S quater, secuncum abs S. sexies et R — S bis, Ex iam dictis deduci potest methodus inveniendi tria triangula rectangula in proportione triam datorur numerorum modo duo dati numeri reliqui sint quadrupli, sint v. g. [verbi gratia] dati tres numeri R S. T et sint ipsi R. T. simul quadrupli S. formabuntur sic tria triangula.
30
Il est aisé de voir que la solution particulière donnée par Diophante ne peut être obtenue avec les positions de Fermat, et l’on a dès lors le droit de répéter avec Bachet: «Quamobrem casu factum videtur ut sumpserit autor 2¼, quo de 3 sublato relinquitur ¾ ex tribus cubis compositus.»
32
Il s’agit de trouver trois triangles rectangles en nombres (
Prenant arbitrairement le triangle (
d’où
(
Les deux triangles ainsi construits sont (41, 9, 40) et (34, 16, 30). Au lieu du second, il prend le semblable (17, 8, 15), le rapport restant le même.
34
Les triangles de Diophante ou de Bachet s’obtiennent par la seconde solution de Fermat, c’est-à-dire avec les couples generateurs 5, 4 et 4, 1. Diophante avait probablement traité, dans un problème perdu, la construction de deux triangles rectangles dont l’aire soit dans un rapport donné.