Primum abs R + S. quater et R bis — S quater, secundum abs S .sexies et R — S bis, tertium abs S quater + T et S quater — T bis. sumpsimus autem R esse maiorem T.
Hinc etiam elicietur modus inveniendi tria triangula rectangula numero quorum areæ constituant triangulum rectangulum, eò enim deducetur quæstio ut inveniatur triangulum cuius basis et hypotenusa sint quadrupla perpendiculi. Hoc autem est facile et eril triangulum simile huic 17. 15. 8. tria verò triangula sic formabuntur, primum abs 49. et 2. secundum abs 47. et 2. tertium abs 48 et 1.
Hinc etiam elicietur modus inveniendi tria triangula quorum areæ sint in ratlone trium quadratorum datolrum quorum duo sint quadrupli reliqui ac proinde poterunt eâdem viâ inveniri tria triangula eiasdem areæ[35].
Imo et infinitis modis possumus construere duo triangula rectangulca in data ratione ducendo unum ex terminis aut utrumque in quadrata data etc.
Перевод:
Вот как я восстанавливаю и объясняю метод Диофанта, который Баше не понял.
Взяв в качестве первого треугольника (3, 4, 5), для которого произведение сторон, содержащих прямой угол, есть 12, Диофант говорит: „Придется искать два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катетов одного было в 12 раз больше произведения катетов другого“.
Основа этого заключается в том, что если перемножить между собой эти два произведения, то получится плоское число, подобное 12, и, значит, умножая это последнее число на 12, получим квадрат, что и требуется в задаче.
Диофант продолжает: „или чтобы площадь одного была в 12 раз больше площади другого“, — что ясно само по себе. Далее: „Но если в 12, то можно и в три“; действительно, разделив 12 на квадратное число 4, получим 3; и перемно жение всех оснований и высот даст квадрат, так как деление квадрата на квадрат дает квадрат.
Продолжение текста Диофанта не доставляет решения задачи, но мы восстанавливаем его так:
В данном случае образуем один из треугольников из чисел 7 и 2, а другой — из 5 и 2. Первый треугольник будет иметь площадь, в три раза большую, чем второй, и оба они удовлетворяют задаче.
Вот общее правило для нахождения прямоугольных треугольников, площади которых находятся в заданном отношении.
Пусть заданное отношение будет R к S и R больше S. Больший треугольник образуем из
2R + S и R — S,
меньший — из
R + 2S и R — S.
Иначе[36].
Первый треугольник образуем из 2R — S и R + 2S, второй треугольник образуем из 2S — R и R + S.
Иначе.
Образуем первый треугольник из 6R и 2R — S,
образуем второй треугольник из 4R + S и 4R — 2S.
Иначе.
Образуем первый треугольник из R + 4S и 2R — 4S.
образуем второй треугольник из 6R и R — 2S.
Из предыдущего можно извлечь метод нахождения трех прямоугольных треугольников, площади которых пропорциональны трем данным числам, лишь бы сумма двух из этих чисел равнялась учетверенному, оставшемуся.
Пусть даны, например, три числа R, S, T, и пусть R, S вместе составляют учетверенное T. Тогда три треугольника образуем следующим образом:
первый из R + 4S и 2R — 4S,
второй из 6R и R — 2S,
третий из 4S + T и 4S — 2T.
Мы предполагаем здесь, что R больше T.
Равным образом можно отсюда извлечь метод нахождения трех прямоугольных треугольников в числах, площади которых образуют прямоугольный треугольник.
Вопрос можно свести к нахождению треугольника, у кото рого основание и гипотенуза равны учетверенной высоте. Эта задача нетрудная, и искомый треугольник будет подобен следующему: 17, 15, 8.
А эти три треугольника образуются [числами]:
первый 49 и 2, второй 47 и 2, третий 48 и 1.
Равным образом можно извлечь метод нахождения трех треугольников, площади которых пропорциональны трем данным квадратам, если только два будут равны учетверенному оставшемуся; таким же путем можно найти три треугольника с одинаковой площадью, мало того, можно бесконечным числом способов построить два прямоугольных треугольника, площади которых находятся в заданном отношении, умножая один из членов отношения или оба на заданный квадрат, и т. д.
OBSERVATIO D. P. F
XXX (p. 251)
Ad quæstionem XXV Libri V.
Invenire tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quolibet ipsorum detracto, faciat quadratum. Ponatur solidus sub ipsis contentus 1Q, et rursus quadrati qui queæruntur, sumantur ex triangulis rectangulis, unus a 16/25, alter a 25/169, tertius 64/289; statuo eos in quadratis, et manet 1Q, quolibet ipsorum detracto, faciens quadratum. Superest ut solidus sub tribus contentus æquetur 1Q: est autem solidus ille (25600/1221025)CC; hoc ergo equatur 1Q, et omnia per 1Q dividantur, fiunt (25600/1221025)QQ æqualia I. Est autem unitas quadratus, latus habens quadratum. Ergo oportebat etiam (25600/1221025)QQ esse quadratum latus habentem quadratum. Rursus itaque res eo est reducta ut inveniantur tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub hypotenusis faciat quadratum, qui latus habeat quadratum.* Et si omnia dividamus per productum ex hypotenusa in perpendiculum unius rectangulorum, oportet oriatur qui fit ex producto hypotenusæ in perpendiculum, alicujus rectanguli, in productum ex hypotenusa in perpendiculum alterius, esto unum rectangulorum 3. 4. 5. Eo itaque deventum est, ut inveniantur duo triangula rectangula, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi, numeri hypotenusæ et perpendiculi sit 20. Si autem 20 et 5. et est facile, quippe majus est 5. 12. 13. minus 3. 4. 5. Ab his ergo quærenda sunt alia duo, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi sit 6. est autem majoris hypotenusa 6½, perpendiculum 60. Minoris autem hypotenusa 2½ qui vero in uno rectangulorum 12. et accipientes minima similium, recurrimus ad propositum initio, et ponimus solidum sub tribus contentum 1Q. ipsorum autem quadratorum alterum 16Q. alterum 576Q. tertium (1/28561)Q. Superest ut solidus sub tribus æquetur 1Q. et omnia in 1Q. latusque lateri æquetur, et invenietur 1N.65. Ad positiones.*
36
Треугольники, которые выбрал Диофант, найдены именно этим вторым способом. Они отвечают значениям