Observationes Domini Petri de Fermat

Ponatur igitur latus quadrati quintuplicandi esse 1.N. + 1. aut alius quivis numerorum numerus + 1. quintuplum quadrati illius erit 5Q + 10.N. + 5 cui si adiicias aream 1QQ — 1 fiet 1QQ + 5Q + 10.N + 4. quæ summa debet æquari quadrato, hoc autem non est operosum. Cum numerus unitatum ex hypothesi adjectâ problemati, sit quadratus. Non vidit Vieta quæstionem perinde resolvi posse si loco 1QQ — 1 sumpsisset pro areâ 1 — 1QQ. eo enim deducenda statirn quæstio ut datus numerus 5 vel 6. vel alius quilibet in quadraturm ductus adjectâ unitate conficiat quadratum quod generaliter est facillimnum cum unitas sit quadratus.

Nos peculiari methodo[41] quæstionem hanc et duas proximas[42] resolvimus, cuius beneficio dum quærimus triangulum cuius area unâ cum 5 v . g. [verbi gratia] conficiat quadratum triangulum in minimis[43] exhibemus ⁹/₃ ⁴⁰/₃ ⁴¹/₃ cuius area 20 addito 5 facit quadratum 25. sed de ratione et usu nostræ huius methodi non est huius loci plura addere, non sufficeret sanè marginis exiguitas, multa enim habemus huc referenda.

Перевод:

Ошибка Виета[44], без сомнения, имеет такое происхождение: знаменитый муж приравнял площадь к разности двух биквадратов X⁴ — 1, чтобы при прибавлении упятеренного квадрата получился квадрат.

Поскольку заданное число 5 является суммой двух квадратов, то можно найти упятеренный квадрат, который, уменьшенный на единицу, будет квадратом. Положим сторону квадрата, который нужно упятерить, равной X + 1, причем вместо +1 при X можно взять любое другое число. Упятеренный квадрат от этого будет

5X² + 10X + 5,

он после прибавления площади X⁴ — 1 даст

X⁴ + 5X² + 10X + 4,

что должно равняться квадрату. Это сделать нетрудно, так как число единиц является квадратом вследствие предположения, присоединенного в качестве условия.

Но Виет не заметил, что вопрос так же хорошо решается, если в качестве площади вместо X⁴ — 1 взять 1 — X⁴, так как тогда он немедленно приводится к тому, чтобы заданное число 5, б или любое другое, умноженное на квадрат, сделать квадратом после прибавления единицы, что всегда легко решить, поскольку единица является квадратом.

Мы решили эту и две последующие задачи особым методом, который позволяет, например, отыскать треугольник, площадь которого, увеличенная на 5, составляет квадрат; а именно такой треугольник в минимальных числах есть (9/3, 40/3, 41/3); площадь его 20 и при прибавлении 5 дает квадрат 25.

Но здесь не место для развития принципа и применения этого метода; для этого недостаточны размеры полей, так как нам надо много сказать по этому поводу.

OBSERVATIO D. P. F XXXV (p. 289)

Ad quæstionem VI Libri VI.

^{Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, adsumens unum laterum circa rectum, faciat datum numerum.}

Hæc propositio et sequentes aliter fieri possunt[45] fingatur triangulam in hac propositione abs dato numero et unitate et plana laterilus similia applicentur ad summam unitatis et numeri dati, orietur quæsitus triangulus.

Перевод:

Это предложение и следующие за ним могут быть решены иначе: в этом предложении образуем треугольник из заданного числа и единицы и разделим все стороны на сумму данного числа и единицы, получим искомый треугольник.[46]

OBSERVATIO D. P. F XXXVI (p. 290)

Ad quæstionem VII Libri VI.

_{^{Invenire triangulum rectangulum, ut numerus areæ, multatus uno laterum circa rectum, faciat datum numerum.}}

Fingatur triangulum abs dato numero et unitate et plana lateribus similia applicentur ad differentiam dati numeri et unitatis[47], hæc quæstio[48] per viam quâ hujusmodi duplicatas æqualitates infinitis modis resolvimus infinitas recipit solutiones. Modum autem quo utimur tetigimus et explicavimus infra ad quæstionem 24. Imò et solutiones illæ infinitæ aptantur 4. Sequentibus quæstionibus[49], quod nec Diophantus nec Bachetus animadvertit. Cur autem neque Diophantus neque Bachetus sequenterm quæstionein addiderunt? Invenire triang.[ulum] rectang.[ulum] ut unum ex lateribus areâ multatum faciat datum numerum. Certè hanc videntur ignorasse quia non statim se prodit in resolutione duplicatæ æqualitatis. Verum ex nostrâ methodo facilè potest inveniri, similiter in sequentibus quæstionibus tertius hic casus suppleri potest[50].

Перевод:

Образуем треугольник из заданного числа и единицы и разделим стороны его на разность данного числа и единицы. Этот вопрос допускает бесконечно много решении, которые можно получить тем же методом, что и для двойных уравнений этого типа; мы коснемся этого метода и объясним его ниже в замечании к вопросу 24 [в нашем издании VI₂₂ — И. Б.].

Более того, четыре следующие задачи также имеют бесконечно много решений, чего не заметили ни Диофант, ни Баше. Но почему ни Диофант, ни Баше не прибавили следующего вопроса?

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы один из его катетов уменьшенный на площадь, составлял данше число.

Кажется, они не знали решения, так как оно не дается непосредственно двойным равенством; но его можно легко найти с помощью нашего метода.

Этот третий случай может быть добавлен к последующим вопросам.

OBSERVATIO D. P. F XXXVII (p. 292)

Ad quæstiones VIII et IX Libri VI.

Addi potest ex nostra methodo sequens quæstio; Invenire triangoulum rectangoulum ut sumnma laterum multata areâ conficiat datum numerum.

Перевод:

Благодаря нашему методу можно прибавить следующую задачу:

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы сумма сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь, составляла данное число.

OBSERVATIO D. P. F XXXVIII (p. 294)

Ad quætiones X et XI Libri VI.

Addi potest ex nostra methodo sequens quæstio; Invenire triangulum rectangulum ut summa hypotenusæ et alterius lateris circa rectum multata areâ faciat datum numerum imo et sequens addi potest Bacheti commentarijs[51]; Invenire triangulum [rectangulum] ut hypotenusa detractâ areâ faciat datum numerum.

Перевод:

Благодаря нашему методу можно добавить следующую задачу:

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы сумма гипотенузы и одной из сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь, составляла данное число.

Можно также к комментарию Баше добавить следующую:

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипотенуза, уменьшенная на площадь, составляла данное число.[52]

41

La methode de Diophante peut se repr6senter comme suit: soient a le nombre donné, et

(x² + 1/x²)y, (x² + 1/x²)y, 2y

le triangle cherché, on devra rendre carré (x² + 1/x²)y² + a. En égalant cette expression à (x² + 2m²a/x²)y², on arrive à tirer rationnellement, en fonction d’arbitraires m et n,

x=(a(4a²m⁴ + 1) — n²)/4amn et y=ax/(2max+n).

42

DIOPHANTE. VI, 4: Invenire triangulum rectangulum ut areæ numerus multatuts dato numero faciat quadratutm.

DIOPHANTE, VI, 5: Invenire triangulun rectangulum ut numerus areæ detractus a dato numero faciat quadratnum.

La méthode de Diophante, pour ces deux problèmes, est analogue à celle qu’il a suivie pour VI, 3.

43

De fait, ces nombres reviennent à ceux de Viète. Comparez au reste JACQUES DE BILLY (Doctrinae analyticæ inventum novun, 1, 37, p. 10):

«Vieta, L. V Zetet. 9, infeliciter solvit quæstionem tertiam libri sexti Diophanti; quum enim iste proponat invenire triangulum rectangulum cujus area assumens datum numerum faciat quadratum, coarctavit Vieta quæstionem ad datum numerum ex duobus quadratis compositum. At Fermatius innumeris modis solvit problema de dato quocumque numero: si enim detur 3, numeri sequentes exhibent triangulum quæsitum:

^1441889/₄₁₆₁₆₀, ^1397825/₄₁₆₁₆₀, ³⁴/₄₀.»

44

При своем решении Виет предполагал, что заданное число является суммою двух квадратов (как, например, число 5). Такое предположение, как показывает Ферма, излишне.

45

Soit a le nombre donné; la solution de Diophante revient à prendre, pour le triangle,

(a² + 1)/(a + 1), a — 1, (2a + 1)/(a + 1)

L’aire, plus le dernier côté, est identiquement a.

La solution de Fermat est précisément la même; seulement il la pose directement, au lieu de suivre les longs détours de Diophante, qui masquent la construction effective du triangle.

46

Как заметил ещё П. Таннери, решение Ферма в точности совпадает с тем, которое дал Диофант.

47

Cette solution est encore, de fait, la même que celle de Diophante, comme pour le problème précédent.

48

Il faut entendre ici à la fois les problèmes VI, 6 et 7 de Diophante.

49

VI, 8: Invenire triangulum rectanlium ut area, adsumens utrumque laterum circa rectum, faciat datum numerum.

VI, 9: Invenire triangulum rectanlium ut numerus areæ, multatus summa laterum circa rectum, faciat datum nuzmerum.

VI, 10: Invenire triangulum rectanlium ut numerus areæ nulmrus, adsumens summam hypotenusæ et alterius laterum circa rectum, faciat datum numerum.

VI, 11: Invenire triangulum rectanlium ut numerus areæ, multatus summa hypotenusæ et alterius laterum circa rectum, faciat datum numerum.

Pour tous ces problèmes, comme pour les deux précédents, Diophante arrive à une double équation, dont son procédé ne tire qu’une solution unique.

50

Voir les Observations XXXVII, XXXVIII, XL, XLI.

51

Dans son commentaire sur VI, 11, Bachet avait traité la question:

Invenire triangulum rectanlium ut area, detracta hypotenusa, faciat datum numerum.

52

Баше в своем комментарии к VI₁₁ рассмотрел задачу: «Найти прямоугольный треугольник такой, что его площадь, увеличенная (уменьшенная) на гипотенузу, составляет заданное число».