Observationes Domini Petri de Fermat

OBSERVATIO D. P. F XXXIX (p. 298)

Ad quæstionem XIII Libri VI.

^{Invenire triangulum rectangulum ut numerus aræa, adsumens alterutrum laterum circa rectum, faciat quadratum.}

Unius tantum speciei triangula Diophantus exhibet propositum adimplentia, Sed ex nostrâ methodo suppetunt infinita diversæ speciei triangula quæ ex Diophantæo per ordinem derivantur.

Sit igitur inventum triangulum 3. 4. 5. cuius hæc est proprietas ut qui fit mutuo ductu laterum circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum intervallo eorumdem, et areâ contento faciat quadratum[53]. Ab eo deducendum aliud eiusdem proprietatis, sit maius ex lateribus circa rectum trianguli quætsiti 4. minus vero 3 + 1N. Rectangulum sub lateribus circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum intervallo eorundem et areâ contento, facit 36 — 12N. — 8Q. quae ideo debent æquari quadrato. Cum autem latera 4 et 3 + 1N. sint latera circa rectum trianguli rectanguli, debent etiam eorum quadrata iuncta æquari quadrato. Quadrata illa iuncta faciunt 25 + 6N + 1Q. quæ idcircò etiam æquanda quadrato. Et oritur duplicata æqualitas, nam 36 — 12. N — 8Q. et etiam 25 + 6N + 1Q. debent æquari quadrato. Eius æqualitatis duplicatae solutio est in promptu.

Перевод:

Диофант дает только один вид треугольников, удовлетворяющих задаче; однако наш метод доставляет бесконечно много треугольников различных видов, которые могут быть выведены последовательно из решения Диофанта.

Итак, пусть уже найден треугольник (3, 4, 5), который удовлетворяет условию, „чтобы произведение сторон при прямом угле, сложенное с произведением большего катета, разности этих катетов и площади, давало квадрат“. Из него надо вывести другой треугольник, обладающий тем же свойством.

Пусть наибольшая из сторон при прямом угле искомого треугольника будет 4, а наименьшая 3 + X. Произведение сторон при прямом угле, к которому прибавленно произведение наибольшей стороны при прямом угле на разность этих сторон и площадь треугольника, составит 36 — 12X — 8X², что надо приравнять квадрату. Кроме того, стороны 4 и и 3 + X, будучи сторонами при прямом угле прямоугольного треугольника, должны давать сумму квадратов, равную квадрату; но сумма их квадратов составляет 25 + 6X + X², что также надо приравнять квадрату. И получается двойное равенство, именно:

36 — 12X — 8X² и 25 + 6X + X²

должны равняться квадратам. Решение его найти легко.

OBSERVATIO D. P. F XL (p. 302)

Ad quæstionem XIV Libri VI.

^{Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, multatus alterutro laterum circa rectum, faciat quadratum.}

Ex nostrâ Methodo solvetur sequens quæstio alioquin difficillima. Invenire triangulum rectangulum ut alterutrum laterum circa rectum multatum areâ facial quadratum.

Перевод:

Нашим методом решается следующий вопрос, который иначе был бы очень труден:

Найти прямоугольный треугольник, у которого каждая из двух сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь, составляет квадрат.

OBSERVATIO D. P. F XLI (p. 307)

Ad quæstiones XV et XVII Libri VI.

^{13. Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, tam hypotenusa quam altero laterum circa rectum detracto, faciat quadratum.}

^{17. Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, tam hypotenusæ quam alterius laterum circa rectum numero adscito, facial quadratum.}

Tentetur beneficio nostræ methodi sequens quæstio alioquin difficillima. Invenire triangulum rectangulum ut tam hypotenusa quam unum ex lateribus detractâ areâ faciant quadratum.

Перевод:

Благодаря нашему методу можно попробовать разрешить следующий вопрос, который без этого был бы очень труден:

Найти такой прямоугольный треугольник, что при вычитании площади из гипотенузы или одной из сторон при прямом угле получается квадрат.

OBSERVATIO D. P. F XLII (p. 320)

Ad quæstionem XIX Libri VI.

^{Invenire triangulum rectangulum ut areæ numerus cum hypotenusæ numero faciat quadratum, at circumferentiæ numerus sit cubus…}

^{…Oportet itaque invenire quadratum aliquem, qui, binario adjecto, cubum faciat… est igitur quadrati latus 5, cubi vero 3; ipse quadratus 95, cubus 27…}

An autem alius in integris quadratus præter ipsum 25. inveniatur qui adsumpto binario cubum faciat. id sanè difficilis primo obtutu videtur disquisitionis. Certissimâ tamen demonstratione probare possum nullum alium quadratum præter 25. in integris adiecto binario facere cubum. In fractis ex methodo Bacheti[54] supetunt infiniti, sed doctrinam de numeris integris quæ sanè pulcherrima et subtilissima est, nec Bachetus, nee alius quivis cuius scripta ad me pervenerint, hactenus calluit.

Перевод:

Можно ли отыскать среди целых чисел другой квадрат, кроме 25, который при прибавлении двух становился бы кубом? Конечно, с первого взгляда это кажется трудно исследовать. Однако мы можем доказать совершенно строго, что никакой целый квадрат, кроме 25, при прибавлении двух не дает куба. Для дробных чисел методом Баше можно найти бесконечно много таких квадратов, но наука о целых числах, которая, без сомнения, является прекраснейшей и наиболее изящной, не была до сих пор известна ни Баше, ни кому-либо другому, чьи труды дошли до меня.[55]

OBSERVATIO D. P. F XLIII (p. 329)

Ad commentarium in quæstionem XXIV Libri VI.

^{QUÆSTIO DIOPHANTI. — Invenire triangulum roctangulum ut numerus circumferentiae sit cubus, et adscito areæ numero, faciat quadratum.}

^{BACHETUS… Quoniam vero in his libris Diophantus diversimode utitur duplicata æqualitale, non abs re me facturumn arbitror, si omnes quos usurpat modos sigillatim recenseamn et unum in locum quæ sparsim a nobis adnotata sunt, collecta conjiciam, ut sic tota duplicatæ æqualitatis doctrina discentium animis firmius inhæreat. Nec solas Diophanti hypotheses afferemus, sed et alias plerumque exhibebimus, quibus varia hujusmodi æquationum symptomata declarentur, novamque insuper quam excogitavimus æquationis rationem, quamque ad quadragesimam quintam quarti explicavimus, alijs adjiciemus.}

Ubi non suficiunt duplicatæ æqualitates vel διπλοισότητες, recurrendum ad τριπλοισότητας, seu triplicatas, æqualitates quæ est nostra inventio ad plurima problemata pulcherrima præviam facem præferens. Æquentur videlicet quadrato

1N + 4

2N + 4

5N + 4

oritur triplicata æqualitas cuius solutio per medium duplicatæ æqualitatis est in promptu. Si ponatur loco 1N. numerus una cum 4 quadratum conficiens v. g. [verbi gratia] 1Q + 4. N. fiet primus numerorum æquandorum quadrato 1Q + 4N. + 4 secundus igitur erit 2Q + 8N + 4. tertius 5Q + 20N + 4. primus autem ex constructione est quadratus, ergo debent æquari quadrato 2Q + 8N + 4 et 5Q + 20N + 4 et oritur duplicata æqualitas quæ unicam certè exhibebit solutionem[56], sed eâ exhibitâ prodibit rursum nova, et à secundci tertia deducetur, et in infinitum. Quod opus ita procedet ut invento valore 1N. rursus ponatulr 1N. esse 1N + numero qui primum ipsi 1N. inventus est æqualis. Hac enim viâ infinitæ prioribus solutionibus solutiones accedent et postrema semper derivabitur à proxime antecedenti. Huius inventionis beneficio infinita triangula eiusdem areæ possumus exhibere[57], quod ipsum videtur latuisse Diophantum, ut patet ex quæstione octava lib. 5. in quâ tria tantum triangula æqualis areæ investigat ut sequentem quæstionem in tribus numeris construat quæ ad infinitos ex iis quæ nos primi deteximus, recipit extensionem.

53

Cette condition est empruntée au texte latin du problème. Le procédé de Diophante revient en effet à prendre comme triangle cherché: az, bz, cz; puis à poser (supposant b>c) z=b/(x² — bc/2). Il arrive ainsi à avoir à rendre carré

bcx² + b(b-c)bc/2 = y².

Or, si le triangle (a, b, c) est tel que

bc + b(b-c)bc/2 = p²,

Diophante sait construire une infinité de valeurs de x = (q² — 2pq + bc)/(q² — bc) done de z. Mais tous les triangles ainsi obtenus sent semblables; Fermat cherche done à déterminer un autre triangle (a, b, c) que celui trouvé par Diophante (5, 4, 3).

54

D’après cette méthode (p. 321), si l’on a une solution x₁, y₁ de l’équation indéterminée

x² + a = y³

et que l’on pose

x = x₁ — z, y = y₁ - 2x₁/3y₁²

on peut tirer z rationneclass="underline"

z = (36x₁² — 27y₁³)/8x₁³

55

Заметим, что уравнение X² + 2 = Y³ имеет бесконечно много рациональных решений, которые могут быть найдены методом касательной Диофанта (см. комментарий к VI₂₄). Теорема, сформулированная Ферма, относительно целочисленных решений этого уравнения, была впервые доказана Эйлером (Èlémens d’algèbre, t. II, § 192, 1796).

56

D’après les procédés de Diophante, cette solution s’obtient comme suit:

Soit la double équation

ax²+bx+c²=u², a'x²+b'x+c²=v²,

on en conclut

(a-a')x²+(b-b')x=u²-v².

On satisfera à cette relation en posant

2cx(a-a')+2c=u+v, 2cx(b-b')=u-v.

De ces deux équations on tirera la valeur de u ou de v, et, en substituant dans une des deux premières, on obtiendra pour x une valeur rationnelle déterminée.

57

Voir Observation XXIII. Fermat renvoie d’ailleurs à la présente Observation XLIII dans les suivantes: VI, XVI, XXII, XXXI.