Перевод:
Там, где двойные равенства, или διπλοισότητες, недостаточны, следует прибегать к тройным равенствам, или τριπλοισότητας, которые открыты нами и которые ведут к решению множества прекрасных задач.
Пусть, например, надо приравнять квадратам 1X + 4, 2X + 4, 5X + 4, получаем тройное равенство, которое легко решить с помощью двойного равенства.
Если положить вместо X некоторое число, которое вместе с 4 дает квадрат, например X2 + 4X, то первое число, которое нужно приравнять квадрату, есть X2 + 4X + 4, второе 2X2 + 8X + 4, третье 5X2 + 20X + 4.
Первое число является квадратом по построению, значит, нужно приравнять квадратам
2X2 + 8X + 4 и 5Q + 20X + 4,
и получаем двойное равенство, из которого найдем, правда, только одно решение, но из него можно вывести новое решение, а из второго выведем третье и так до бесконечности.
Чтобы сделать это, надо, если найдено некоторое значение для X, положить вместо X в уравнении X + первоначально найденное значение для X. Таким путем получим бесконечно много решений, каждое из которых выводится из предыдущего и присоединяется к уже полученным.
Благодаря этому открытию мы можем получить бесконечно много треугольников с одинаковой площадью, чего, как кажется, не знал Диофант, как это явствует из задачи V8[58], в которой он ищет только три треугольника с одинановой площадью, чтобы решить последующую задачу относительно трех чисел, но эта задача, благодаря впервые сделанному нами открытию, может быть распространена на любое количество чисел до бесконечности.
OBSERVATIO D. P. F
XLIV (p. 333)
Ad idem commentarium.
Huic de duplicatis æqualitatibus tractatui multa possemus adiungere quæ nec veteres nec novi detexerunt. Sufficit nunc, ut methodi nostræ dignitatem et usum asseramus, ut quæstionem sequentem, quæ sane difficillima est resolvamus. Invenire triangulum rectangulum numero, cuius hypotenusa sit quadratus, et pariter summa laterum circa rectum[59]. Triangulum quæsitum repræsentant tres numeri sequentes 4687298610289. 4565486027761. 1061652293520. Formatur autem à duobus numeris sequentibus 2150905. 246792. Aliâ autem methodo sequentis quæcstionis solutionem deteximnus. Invenire triangulum rectangulum numero eâ conditione ut quadratum differentia laterum circa rectum minus duplo quadrati à minore latere conficiat quadraturn. Unum ex triangulis quæ huic quæstioni aptantur est id quod sequitur 1525. 1517. 156. formatur à numeris 2. 9. et 2.
Imo confidenter adiungimus duo triangula rectangula quæ iam exposuimus ad solutionem duarum propositarum quæstionum esse minima omnium in integris quæstionem adimplentium.
Methodus nostra hæc est. Quæratur quæstio proposita secundum methodum vulgarem, si non succedat solutio post absolutam operationem quia nempè valor numeri notâ defectus insignitur et ideo minor esse nihilo intelligitur, non tamen despondendum animum confidenter pronuntiamus (quæ oscitantia, ut loquitur Vieta[60], fuit et ipsius et veterum analystarum.) Sed iterum quæstionem tentemus et pro valore radicis ponamus 1N — numero quem sub signo defectus æquari radici incognitæ in prima operatione invenimus, prodibit nova haud dubiè æquatio quæ per veros numeros solutionem quæstionis repræsentabit. Et hac via superiores duas quæstiones alioquin difficillimas resolvinus, demonstravimus pariter et construximus numerum ex duobus cubis compositum in duos alios cubos dividi posse[61], sed hoc per iteratam ter aliquando operationem. Sæpius enim contingit ut veritas quæsita ad multiplices operationum iterationes solertem et industrium necessario adigat analystam ut facillimè experiendo deprehendes.
Перевод:
К этому исследованию о двойных равенствах мы можем многое добавить, что не было открыто ни древними, ни современными авторами. Однако для того, чтобы удостовериться в важности нашего метода и показать, как его применять, достаточно решить следующий очень трудный вопрос:
Найти прямоугольный треугольник в числах, гипотенуза которого была бы квадратом, а также и сумма сторон при прямом угле.
Искомый треугольник представлен следующими тремя числами:
4687298610289, 4565486027761, 1061652293520,
и он образован двумя числами: 2150905 и 246792.
С помощью другого метода мы открыли решение следующего вопроса:
Найти прямоугольный треугольник в числах при условии9 что квадрат разности сторон при прямом угле минус удвоенный квадрат меньшей из этих сторон составляет квадрат.
Один из треугольников, который удовлетворяет вопросу, будет следующим: 1525, 1517, 156, образованный числами 39 и 2.
Добавлю с уверенностью, что два треугольника, которые были приведены как решения двух предложенных задач, являются наименьшими в целых числах, которые удовлетворяют вопросам.
Наш метод таков. Ищут решение предложенного вопроса обычным методом. Если после окончания вычислений не добиваются успеха, потому что значение неизвестного числа получается со знаком недостатка и должно быть рассмотрено как меньшее нуля, то мы с уверенностью заявляем, что не следует падать духом (и стоять разиня рот, как говорит Виет и как делал и он сам и древние аналисты), но надо вновь вернуться к вопросу и подставить вместо неизвестного X число, найденное при первом вычислении и имеющее знак недостатка. Таким образом получится новое уравнение, которое приведет к решению в настоящих числах [т. е. положительных рациональных. — И. Б.].
Этим путем мы решили оба вышеприведенных вопроса, которые иначе были бы очень трудны; мы доказали также, что число, являющееся суммою двух кубов, может быть разложено на два другие куба, и дали их построение, которое; может потребовать повторения всей операции до трех раз а именно часто случается, что поиски истины вынуждают самого искусного и усердного аналиста к многократному повторению вычислений, как это легко обнаружить на опыте.
59
BILLY (
(
Istud problema idem plane est cum superiori quo quærebatur triangulum rectangulum cujus hypotenusa et summa laterum sit quadratus, aliasque fuit propositum plerisque doctissimis Mathematicis a Fermatio nostro sine solutione. Utere igitur triangulo primitivo supra invento (num. 25) 169, 119, 120, quod formatur ab 5 et I2, et forma triangulum ab 1N+5 et 12. Latera erunt: 1Q+169+10N, 1Q-119+10N, 24N+120. Igitur hypotenusa, 1Q+169+10N, et summa laterum circa rectum, 1+1Q+34N, æquantur quadrato; due summam istam laterum in 169; ergo productus, 169Q+5746N+169, cum hypotenusa, 1Q+169+10N, æquantur quadratis. Ergo (per ea quæ dicta sunt num. 22) valor radicis est 2048075/20566 et, iuxta positiones, duo numeri a quibus nascetur triangulum quæsitum, 4687298610289, 4565486027761, 1061652293520. Nam et hypotenusa est quadratus et summa laterum, et quadrata laterum æquantur quadrato hypotenusm; proindeque duo latera circa rectum sunt duo numeri quæsiti, turn quia illorum summa quadratus est, turn quia horum quadrata simul junclta faciunt quadratoquadratum…
(
60
Viète (