OBSERVATIO D. P. F
XLV (p. 338–339)
Ad problema XX commentarij in ultimam quæstionem Arithmeticorum Diophanti.
BACHETUS: Invenire triangulum rectangulum, cuius area sit datus numerus. Oportet autem ut quadratus areæ duplicate, additus alicui quadratoquadrato, faciat quadratum.
Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus, hujus theorematis a nobis inventi demonstrationem, quam et ipsi tandem non sine operosa laboriosâ meditatione deteximus, subiungemus. Hoc nempè demonstrandi genus miros in arithmeticis suppeditabit progressus, si area trianguli esset quadratus, darentur duo quadratoquadrati quorum differentia esset quadratus: Unde sequitur dari duo quadratos quorum et summa et differentia esset quadratus. Datur itaque numerus, compositus ex quadrato et duplo quadrati, æqualis quadrato, ea conditione ut quadrati eum componentes faciant quadratum. Sed si numerus quadratus componitur ex quadrato et duplo alterius quadrati, eius latus similiter componitur ex quadrato et duplo quadrati, ut facillime possumus demonstrare.
Unde concludetur latus illud esse summam laterum circa rectum trianguli rectanguli, et unum ex quadratis illud componentibus efficere basem, et duplum quadratum æquari perpendiculo.
Illud itaque triangulum rectangulum conficietur à duobus quadratis quorum summa et differentia erunt quadrati. At isti duo quadrati minores probabuntur primis quadratis primo suppositis, quorum tam summa quam differentia faciunt quadratum.
Ergo, si dentur duo quadrati quorum summa et differentia faciunt quadratum, dabitur in integris summa duorum quadratorum eiusdem naturæ, priore minor. Eodem ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prioris, et semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem præstantes: Quod impossibile est, quia, dato numero quovis integro, non possunt dari infiniti in integris illo minores. Demonstrationem integram et fusius explicatam inserere margini vetat ipsius exiguitas.
Hac ratione deprehendimus et demonstratione confirmatus nullum numerum triangulum præter vnitatem æquari quadratoquadrato.
Перевод:
Площадь прямоугольного треугольника в числах не может быть квадратом.
Мы дадим доказательство этой найденной нами теоремы, которую мы открыли после мучительных и долгих раздумий, но этот род доказательства приведет к чудесным успехам в Арифметике.
Если бы площадь треугольника была квадратом, то были бы даны два квадрато-квадрата, разность которых была бы квадратом, откуда следует, что были бы даны два квадрата, сумма и разность которых были бы квадратами: значит, имелось бы квадратное число, равное квадрату и удвоенному квадрату при условии, что квадраты, которые его составляют, в сумме дают квадрат. Но если квадратное число составлено из квадрата и удвоенного другого квадрата, то его сторона подобным же образом составляется из квадрата и удвоенного квадрата, что мы можем легко доказать, откуда заключаем, что эта сторона является суммой сторон при прямом угле прямоугольного треугольника, и один из этих составляющих квадратов будет основанием, а удвоенный второй — высотой.
Значит, этот прямоугольный треугольник будет составлен из двух квадратных чисел, сумма и разность которых будут квадратами. Можно доказать, что эти два квадрата меньше, чем первоначальные квадраты, относительно которых было предположено, что их сумма и разность образуют квадраты. Значит, если даны два квадрата, сумма и разность которых образуют квадраты, то даны в целых числах два квадрата, имеющих то же свойство, но сумма которых меньше первой.
Таким же рассуждением получим затем другую сумму, меньшую той, которая была выведена из первой, и так до бесконечности будем находить целые числа, постоянно убывающие. Но это невозможно, так как если дано целое число, то не можеть иметься бесконечности целых чисел, меньших его[62].
Полное доказательство с развернутыми пояснениями не может быть помещено на полях из-за их узости.
Тем же рассуждением мы нашли и доказали, что никакое треугольное число, кроме единицы, не равно квадрато-квадрату.
OBSERVATIO D. P. F
XLVI (p. 16_2)
Ad commentarium in propositionem IX Diophanti De multangulis numeris.
BACHETUS: Dato latere invenire polygonum… Dato polygono invenire latus.
Propositionem pulcherrimam et mirabilem quam nos invenimus hoc in loco sine demonstratione apponemus. In progressione naturali, quæ ab unitate sumit exordiun, quilibet numerus in proximè maiorem facit duplum sui trianguli, in triangulum proximè maioris facit triplum suæ pyramindis in pyramidem proximè maioris facit quadruplum sui triangulotrianguli, et sic uniformi et genrerali in infinitum methodo. Nec existimo pulchrius aut generalius in numeris posse dari theorema cuius demonstrationem margini inserere nec vacat, nec licet.
Перевод:
Je mettrai ici, sans démonstration, une proposition très belle et très remarquable que j’ai découverte:
Dans la progression naturelle commençant à l’unité, le produit d’un nombre quelconque par le nombre immédiatement supérieur fait le double du triangle du premier nombre; si le multiplicateur est le triangle du nombre immédiatement supérieur, on a le triple de la pyramide du premier nombre; si c’est la pyramide du nombre immédiatement supérieur, on a le quadruple du triangulotriangulaire du premier nombre; et ainsi de suite indéfiniment, suivant une règle uniforme et générale.
J’estime qu’on ne peut énoncer sur les nombres de théorème qui soit plus beau ou plus général. Je n’ai ni le temps ni la place d’en mettre la démonstration sur cette marge.
OBSERVATIO D. P. F
XLVII (p. 40_2)
Ad propositionem XXVII Bacheti Appendicis de numeris polygonis Libri II.
Unitas primum cubum; duo sequentes impares conjuncti, secundlum cubum; tres sequentes, tertium cubum; quatuor succedentes, quartum; semperque uno plures sequentem deinceps in infinitum cubum aggregati impares constituunt.
Hanc propositionem ita constituo magis universalem. Unitas primam columnam[66] in quacumque polygonorum progressione constituit; duo sequentes numeri mulctati primo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, secundam columnam; tres sequentes multati secundo triangulo toties sumpto quot sunt anguli polygoni quaternario mulctati, tertiam columnam, et sic eodem in infinitum progressu.
Перевод:
Voici comment j’énoncerai cette proposition d’une façon plus générale:
Dans toute progression constitutive de polygone, l’unité constitue la première colonne; la somme des deux nombres suivants, diminuée du premier triangle multiplié par l’excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la seconde colonne; la somme des trois nombres suivants, diminuée du second triangle multiplié par l’excès sur 4 du nombre des angles du polygone, forme la troisième colonne; et ainsi de suite indéfiniment, suivant la même loi.
OBSERVATIO D. P. F
XLVIII (p. 41_2)
Ad propositionem XXXI Bacheti Appendicis Libri II.
In hac progressione [nempe arithmetica, in qua minimus terminus æquatur differentia], productus ex cubo minimi in quadratum trianguli numeri terminoram æquatur aggregato cuborum a singulis.
66
Fermat a voulu généraliser, pour les différentes sortes de nombres polygones, la notion de cube (produit par