Найти число, которое представлялось бы суммою двух квадратов столькими способами, сколько это желательно.
Пусть предложено 10 способами. Удвоенное его 20, берем все простые множители, получим 2, 2, 5. Вычитаем из каждого по единице, получим 1, 1, 4. Значит, нужно взять три простых числа, каждое из которых превосходит на единицу некоторое кратное четырех, например числа 5, 13, 17; взяв квадрато-квадрат одного из них (из-за показателя 4), умножим на остальные два и получим, таким образом, искомое число.
На основании этого легко найти наименьшее число, которое представимо суммой двух квадратов столько раз, сколько это желательно.
С другой стороны, вот метод, чтобы узнать, сколькими способами заданное число может быть составлено из двух квадратов.
Пусть дано число 325. Его простыми делителями, которые превосходят на единицу кратное четырех, будут 5, 13, последнее — один раз, а первое — в квадрате. Возьмем показатели 2, 1. Сложим их произведение и сумму, это дает 5, прибавим единицу, что дает 6, берем половину 3. Значит, столькими способами данное число составляется из двух квадратов.
Если получатся три показателя, например 2, 2, 1, то процедура будет такова. Произведение двух первых, сложенное с их суммой, даст 8. Умножаем на третий и прибавляем сумму сомножителей, что дает 17. Прибавляем, наконец, единицу, что дает 18, половина которого есть 9. Столькими способами предложенное число будет составляться из двух квадратов.
Если последнее число, от которого нужно взять половину, будет нечетным, то от него следует отнять единицу и взять половину остатка.
Можно еще задаться следующим вопросом: найти целое число, сумма которого с заданным числом будет квадратом и которое, с другой стороны, будет гипотенузой стольких прямоугольных треугольников, сколько это желательно.
Этот вопрос труден. Если, например, требуется найти число, которое будет дважды гипотенузой и при прибавлении 2 дает квадрат, то число 2023 удовлетворяет условию, имеется и бесконечно много других, как 3362 и т. д.
OBSERVATIO D. P. F
VIII (p. 133)
Ad commentarium in quæstionem II Libri IV.
QUÆSTIO DIOPHANTI: Invenire duos numeros, ut illorum intervallum datum faciat numerum et cuborum quoque ab ipsis ortorum sit quod præscribitur intervallum.
QUÆSTIO PRIMA BACHETI: Datis duobus cubis, invenire duos alios, quorum summa æqualis sit datorum intervallo. Oportet autem duplum minoris cubi non superare majorem.
Canon: Utrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos divide per summam cuborum, a majore quotiente aufer minus latus, et minorem quotientem aufer a majore latere; relinquentur cuborum quæsitorum latera.
Determinationem operationis iteratione facillime tollimus et generaliter tum hanc quæstionem turn sequentes quæstiones construimus, quod nec Bachetus nec ipse Vieta[9] expedire potuit. Sint dati cubi 64 et 125. inveniendi alij duo quorum summa æqualis sit datorum intervallo. Ex quæstione tertia folio sequenti[10] quærantur duo alij cubi quorum differentia æquet differentiam datorum. Illos Bachetus invenit et sunt 15252992/250047 et 125/250047 isti duo cubi ex constructione habent intervallum æquale intervallo datorum. Sed isti duo cubi inventi per quæstionis tertiæ operationem possuntiam transferri ad quæstionem primam cum duplum minoris non superet maiorem, datis itaque his duobus cubis quærantur alij duo quorum summa æquetur intervallo datorum, id quidem licet per determinationem huius quæstionis primæ. At intervallum datorum horum cuborum est per quæstionem tertiam æquale intervallo cuborum prius sumptorum 64. et 125. igitur construere nihil vetat duos cubos quorum summa æqualis sit intervallo datorum 64. et 125. quod sanè miraretur ipse Bachetus. Imo si tres istæ quæstiones eant in circulum et iterentur in infinitum, dabuntur duo cubi in infinitum idem præstantes, ex inventis enim ultimo duobus cubis quorum summa æquet differentiam datorum, per quæstionis secundæ operationem quæremus duos alios quorum differentia æquet summam ultimorum, hoc est intervallum priorum et ex hac differentiâ rursum quæremus summam et sic in infinitum.
Перевод:
Повторяя операцию, легко можно избавиться от условия [т. е. от ограничения, — И. Б.] и решить общим образом как этот вопрос, так и следующие, чего не смогли сделать ни Баше, ни сам Виет.
Пусть даны два куба 64 и 125; требуется найти два других куба, сумма которых была бы равна разности данных.
Найдем методом, данным Баше при решении задачи 3 (на следующей странице) два других куба, разность которых будет равна разности двух заданных. Баше нашел их, это 15252992/250047 и 125/250047. По построению разность их равна разности двух данных кубов; но, после того как они найдены методом задачи 3, поскольку удвоенный меньший не превосходит большего, их можно взять в качестве данных задачи 1.
Таким образом, мы получим два данных куба и будем искать два других, сумма которых равна разности данных; так как условие, указанное для задачи 4, выполнено, то решение можно получить без затруднений. Но разность кубов, найденных путем решения задачи 3, равна разности двух первоначально заданных кубов 64 и 125; итак, ничто не мешает построить два куба, сумма которых равна разности данных 64 и 125, что, конечно, удивило бы самого Баше.
Более того, проходя по кругу эти три задачи и повторяя это до бесконечности, получим бесконечно много пар кубов, удовлетворяющих одному и тому же условию; действительно, после того как мы нашли два куба, сумма которых равна разности данных, мы можем методом задачи 2 найти два других, разность которых равна сумме наших двух кубов, т. е. разности первоначально данных; от разности мы перейдем к сумме и так до бесконечности.
OBSERVATIO D. P. F
IX (p. 135)
Ad eumdem commentarium.
QUÆSTIO SECUNDA BACHETI: Datis duobus cubis, invenire duos alios, quorum differentia æquet summam datorum.
Canon: Utrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos divide per intervallum cuborum, et minori quotienti adde majus latus, atque a majore quotiente aufer minus latus; summa et residuum exhibebunt quæsitorum latera cuborum.
QUÆSTIO TERTIA BACHETI: Datis duobus cubis, invenire alios duos, quorum differentia æquet datorum differentiam. Oportet autem duplum minoris excedere majorem.
Canon: Productum ex utroque cubo ter in latus alterius divide per summam cuborum: a majore quotiente aufer minus latus, a minore quotiente aufer majus latus, relinquentur latera quæsitorum cuborum.
Huius quæstionis determinationem non esse legitimam simili quâ usi in primâ quæstione sumus operatione aperiemus.
Imo ex supradictis quæstionem quam Bachetus ignoravit, feliciter construemus, datum numerum ex duobus cubis compositum in duos alios cubos dividere, idque infinitis modis per operationum continuatam ut supra monnuimus, iterationem.
Sint duo cubiquibus alij duo æquales inveniendi 8. et 1. primum ex quæstione secunda quærantur duo cubi quorum differentia æquet summam datorum, eruntque 8000/343 et 4913/343 Quia duplum minoris excedit maiorem, res deducitur ad tertiam quæstionem, quæ demum reducetur ad primam et constabit propositio, Si velis secundam solutionem rursus quæstio redibit ad secundatm etc.
9
Viète avait déjà traité comme Bachet les trois quæstions sur lesquelles portent cette observation de Fermat et la suivante.