Ut autem pateat quæstionis tertiæ deterviniationem non esse legitimam. datis duobus cubis 8. et 1. inveniendi alij duo quorum differentia æquet differentiam datorum. Sanè Bachetus impossibilem hanc quæstionem pronuntiaret, cubi tamen duo per nostram methodum inventi sunt sequentes quorum nempe differentia æquatur 7. differentire 8. et 1. Cubi autem illi duo, sunt 2024284625/6128487 et 1981385216/6128487. latera ipsorum 1265/183. et 1256/183.
Перевод:
Условие, наложенное на задачу 3, незаконно, как мы покажем, действуя так же, как и в случае задачи 1.
Более того, на основании вышеизложенного мы благополучно решим задачу, неизвестную Баше: Данное число, составленное из двух кубов, разложить на два других куба, и это бесконечным числом способов, путем непрерывного повторения операций, как это было указано выше.
Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме других двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем два куба, разность которых равна сумме данных; они будут 8000/343 и 4913/343.
Так как удвоенный меньший превосходит больший, то дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и получим решение.
Если мы хотим получить второе решение, то возвращаемся к задаче 2 и т. д.
Чтобы показать, что условие, наложенное на задачу 3, незаконно, возьмем два куба 8 и 1 и найдем два других куба, разность которых равна разности данных.
Баше объявил бы, конечно, что задача невозможна; однако нашим методом найдены два куба, разность которых равна 7, т. е. разности 8 и 1. Эти два куба таковы, 2024284625/6128487 и 1981385216/6128487, а их стороны равны 1265/183 и 1256/183.
OBSERVATIO D. P. F
X (p. 146)
Ad commentarium in quæstionem XI Libri IV.
QUÆSTIO DIOPHANTI: Invenire duos cubos suis æquales lateribus.
QUÆSTIO BACHETI: Invenire duos cubos quorum summa ad summam laterum sit in data ratione, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.
Eadem addenda huic determinationi quæ in notis sequentis[11] addidimus, et miror Bachetum non quod methodum generalem, quæ sanè est difficilis, non viderit, sed quod saltem non admonuerit lectores hanc quæ ab ipso traditur, non esse generalem.
Перевод:
Это условие должно быть дополнено, как это мы сделали в следующем замечании. Не приходится удивляться, что Баше не увидел общего метода, который действительно труден; но он должен был, по крайней мере, предупредить читателя, что метод, который он дает, не является общим.
OBSERVATIO D. P. F
XI (p. 148)
Ad quæstionem XII Libri IV.
Invenire duos cubos quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum.
Utrum verò invenire liceat duo quadratoquadrata quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum, de hoc inquiratur et tentetur artificium nostræ methodi, quod haud dublè succedet.
Quærantur enim duo quadratoquadrata ita ut differentia laterum sit 1. et differentia quadratoquadratorum sit cubus. Erunt latera per primam operationem —9/22 et 13/22. Sed quia primus numerus notatur signo — iteretur operatio iuxta nostram methodum et ponatur primum latus 1N — 9/22 secundum erit 1N + 13/22 et incidetur in novam æquationem quæ in veris numeris quæstioni satisfaciet.
Перевод:
Если требуется найти два квадрато-квадрата, разность которых равна разности их сторон, то вопрос может быть решен с помощью нашего метода.
Действительно, пусть нужно найти два квадрато-квадрата, разность которых равна кубу, а разность их сторон 1. Применяя первую операцию, найдем стороны — 9/22 и 13/22.
Но поскольку первое из этих чисел отмечено знаком —, то следует повторить операцию, следуя нашему методу, приравняв первую сторону x — 9/22, вторую x + 13/22, и, таким образом мы получим положительные числа, удовлетворяющие задаче.
OBSERVATIO D. P. F
XII (p. 148)
Ad commentarium in eamdem quæstionem.
QUÆSTIO BACHETI: Invenire duos cubos, quorum intervallum ad intervallum laterum datam habeat rationem, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.
Determinatio est illegitima, quia non generalis, addendum igitur, vel multiplex per numeros primos qui superant unitate ternarij multiplices, aut ab ipsis compositos ut 7. 13. 19. 37. etc. vel 21. 91. etc. demonstratio et constructio ex nostra methodo petendæ.
Перевод:
Условие незаконно, так как оно не общее. Нужно добавить: „или быть произведением (квадрата) на простое число, которое превосходит на единицу кратное трех, или на число, составленное из таких простых чисел“, как 7, 13, 19, 37 и т. д. или 21, 91 и т. д. Доказательство и решение получаются из нашего метода.
OBSERVATIO D. P. F
XIII (p. 154)
Ad quæstionem XVII Libri IV.
Invenire tres numeros æquales quadrato, ita ut quadratus cujuslibet ipsorum adscito sequente numero faciat quadratum.
Elegantius fortassè ita solvetur hæc quæstio, ponatur primus numerus 1.N. secundus 2N + 1 ut cum quadrato primi conficiat quadratum, ponatur tertius quilibet unitatum et numerorum numerus, eâ conditione ut additus quadrato secundi conficiat quadratum, V. G. [verbi gratia] sit 4.N. + 3. ita igitur duabus propositi partibus fit satis, superest ut summa trium, sed et quadratus tertij unâ cum primo conficiat quadratum, summa trium est 4 + 7N. summa verò quadrati tertij et primi est. 9 + 25N + 16Q. oriturque duplicata æqualitas cuius solutio in promptu si unitates quadratas ad eumdem numerum quadratum in utrovis numero quadrato adæquando revoces.
Eademque viâ facillimè extendetur quæstio ad 4. numneros et infinitos cavendum enim solummodo erit ut summa unitatum quæ in singulis numeris ponuntur conficiat quadratum quod quider facillimum est.
Перевод:
Эта задача допускает, пожалуй, более изящное решение. Положим первое число x, второе 2x + 1, так что, прибавленное к квадрату первого, оно дает квадрат. Для третьего выберем произвольно коэффициент при x и свободный член, с условием, чтобы прибавление квадрата второго давало квадрат; например, пусть оно будет 4x + 3.
Таким образом, два условия удовлетворены; нужно еще, чтобы сумма всех трех, а также квадрат третьего вместе с первым составляли квадраты.
Но сумма трех есть 4 + 7x сумма же квадрата третьего и первого 9 + 25x + 16x2.
Получаем двойное равенство, в котором свободные члены являются квадратами; поэтому решить его легко, сделав эти члены равными одному и тому же квадрату.
Тем же методом можно распространить задачу на четыре числа и так до бесконечности; достаточно сделать, чтобы свободные члены в выражениях для отдельных чисел были квадратами, а это очень легко.
OBSERVATIO D. P. F
XIV (p. 156)
11
(
le procédé de Bachet revient à éliminer y en posant
3
équation qui se traite facilement par les méthodes de Diophante, si