Observationes Domini Petri de Fermat

Ad quæstionem XVIII Libri IV.

^{Invenire tres numeros æquales quadrato, ut cujusvis ipsorum quadratus, dempto qui eum ordine sequitur, faciat quadratum.}

Eodem quo in superiore quæstione usi sumus ratiocinio hanc quoque solvemus et ad quotlibet numeros extendemus.

Перевод:

Способ рассуждения, который мы применили к предыдущей задаче, позволяет решить и эту и распространить ее на произвольное число чисел.

OBSERVATIO D. P. F XV (p. 159)

Ad quæstionem XX Libri IV.

^{Invenire tres numeros indefinite, ut quem bini producunt mutua multiplicatione, adscita unitate, faciat quadratum.}

Proponatur invenire tres numeros ut quem bini producunt mutuâ multiplicatione adscitâ unitate faciat quadratum et præterea unusquisque trium adscitâ unitate, faciat quadratum.

Huius quæstionis solutionem subjungenus et iam confecta est[12]. Ita fiat solutio indefinita præsentis quæstionis[13] ut unitates primi et tertij numeri addita unitate conficiant quadratos v g. [verbi gratia] sint tres numeri indefinitè primus ¹⁶⁹/₅₁₈₄N. + ¹³/₃₆ Secundus 1N. Tertius ⁷²²⁵/₅₁₈₄N + ⁸⁵/₃₆ Patet solutionem hanc indefinitam satisfacere conditionibus huius quæstionis secundæ.

Super est ut singuli ex illis numeris adscitâ unitate conficiant quadratos et orietur triplicata æqualitas, cuius solutio erit in promptu ex nostrâ methodo cum numerus unitatum in quolibet ex istis numeris unitate auctis sit quadratus.

Перевод:

Пусть предложено найти три числа, произведение любых двух из которых, увеличенное на единицу, будет квадратом, и, кроме того, каждое из этих чисел, увеличенное на единицу, дает квадрат.

Мы присоединим решение этого вопроса к уже рассмотренному [см. задачу V₃ — И. Б.]. Пусть взято неопределенное решение данной задачи Диофанта так, что свободные члены для X₁ и X₂, увеличенные на единицу, являются квадратами. Пусть, например, три неопределенных числа будут: первое ¹⁶⁹/₅₁₈₄x + ¹³/₃₆, второе x, третье ⁷²²⁵/₅₁₈₄x + ⁸⁵/₃₆.

Ясно, что они удовлетворяют данной задаче неопределенным образом, сверх того, нужно, чтобы каждое из этих чисел, увеличенное на единицу, давало квадрат, т. е. возникает тройное равенство, которое легко решить нашим методом, так как свободный член каждого из выражений, после прибавления единицы, становится квадратом.

OBSERVATIO D. P. F XVI (p. 161)

Ad quæstionem XXI Libri IV.

^{Invenire quatuor numeros, ut qui fit ex binorum mutua multiplicalione, adscita unitate, faciat quadratum}[14]^.

Inveniantur tres numeri quilibet ut qui fit binorum mutuâ multiplicatione adscita unitate faciat quadratum, v. g. [verbi gratia] sint illi numeri 3. 1. 8. quæratur iam quartus eâ conditione ut qui fit sub tribus inventis sigillatim in quartum adscita unitate sit quadratus, ponatur inveniendus esse 1N. ergo 3N + 1. item 1N + 1. item 8N + 1. æquantur quadrato et oritur triplicata æqualitas cuius solutio inventioni nostraæ debetur. Vide quæ adnotavimus ad quæstionem 24. libri 6.

Перевод:

Следует найти три числа такие, что их произведение по два, увеличенное на единицу, образует квадрат; пусть, например, это числа 3, 1, 8.

Теперь следует искать четвертое такое, что его произве дение на каждое из трех найденных будет квадратом после увеличения на единицу. Пусть это число будет x, тогда

3x + 1, x + 1, 8x + 1

равны квадратам, и возникает тройное равенство, которое решается найденным нами методом. Смотри мое замечание к задаче VI₂₄ [в нашем издании VI₂₂ — И. Б.].

OBSERVATIO D. P. F XVII (p. 165)

Ad quæstionem XXIII Libri IV.

^{Invenire tres numeros, ut solidus sub ipsis contentus adscito quolibet ipsorum faciat quadratum.}

Non solum absque lemmate Diophanti[15], sed etiam absque duplicata æqualitate[16], solvetur quæstio. Ponatur solidum sub tribus 1.q.—2.N. primus numerorum sit unitas secundus 2.N. Ita namque duobus partibus propositionis satisfit, pro tertio dividatur solidum sub tribus, 1.Q — 2N. per rectangulum sub primo et secundo, quod est 2N. orietur ex hac divisione tertius, ¹/₂N — 1 quo addito ad solidurn sub tribus fit 1Q — ³/₂N — 1 quod æquari debet quadrato. Oportet autem valorem numeri maiorem esse binario propter positiones iam factas. Æquetur igitur quadrato cuius latus 1N — aliquo unitatum numero binario maiori. Omnia constabunt.

Перевод:

Задача может быть решена не только без леммы Диофанта[17], но и без двойного равенства[18]. Положим:

тело из трех чисел....... x² — 2x,

первое число.............. 1,

второе число.............. 2x.

И два условия задачи будут удовлетворены.

Чтобы найти третье, разделим тело из трех, x² — 2x, на прямоугольник на первом и втором, 2x; из этого деления получится третье ¹/₂x² — 1, которое, сложенное с телом из трех, дает x² — ³/₂ — 1, что должно равняться квадрату.

Кроме того, в силу сделанных предположений нужно, чтобы значение x превосходило 2; поэтому приравняем квадрату, сторона которого равна x минус произвольное число, большее двух. Остальное известно.

OBSERVATIO D. P. F XVIII (p. 180)

Ad commentarium in quæstionem XXXI Libri IV.

^{QUÆSTIO: Invenire quatuor numeros quadratos, quorum summa, cum summa laterum conjuncta, numerum imperatum faciat}[19]^.

Imo propositionem pulcherrimam et maxime generalem nos primi deteximus. Nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duobus aut tribus triangulis compositum esse quadratum vel ex duobus aut tribus aut quatuor quadratis compositum esse pentagonum, vel ex duobus tribus quatuor aut quinque pentagonis compositum et sic deinceps in infinitum in hexagonis heptagonis et polygonis quibuslibet enuntianda videlicet pro numero angulorum generali et mirabili propositione; eius autem demonstrationem quæ ex multis varijs et abstrusissimis numerorum mysterijs derivatur hic apponere non licet, opus enim et librum integrum huic operi destinare decrevimus et Arithmeticen hac in parte ultra veteres et notos terminos mirum in modum promovere.

Перевод:

Более того, мы открыли впервые прекраснейшее и наиболее общее предложение, а именно: каждое число является либо треугольным, либо суммою двух или трех треугольных; либо квадратом, либо суммою двух, трех или четырех квадратов; либо пятиугольным, либо суммою двух, трех, четырех или пяти пятиугольных, и так далее до бесконечности, для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел; это чудесное и общее предложение может быть высказано, очевидно, для любого числа углов.

12

Diophante (V, 3) a donné une solution de ce problème dans le cas général où le nombre à ajouter (ici l’unité) est quelconque.

13

La solution ἐν ἀορίστῳ de Diophante peut être représentée par les trois nombres

m²N + 2m, N, (m+1)²N +2 (m+1).

14

Fermat donne de ce problème une solution différente de celle de Diophante.

15

Soient x₁, x₂, x₃ les trois nombres cherchés. La solution de Diophante revient à poser

x₁=1, x₁x₂x₃=x²+2x, x₁x₂x₃+x₂=(x+m)²;

d’où

x₂=2(m−1)x+m² et (x²+2x)/(2(m−1)x+m²)

Il reste ainsi à satisfaire à une dernière condition, à savoir que x₁x₂x₃+x₃ soit carré. Le lemme employé par Diophante consiste de fait à déterminer m en sorte que x₃ soit linéaire en x, c’est-à-dire à satisfaire à la relation

2(m − 1)=¹/₂m²;

d’où

m=2 et x₂=¹/₂x, avec x₂=2x+4,

et enfin

x₁x₂x₃+x₃=x²+⁵/₂x,

expression qu’il est facile de rendre carrée. Il est aisé de voir que la solution de Fermat est au fond la même; car on la retrouve, si l’on change x en N — 2.

16

L’emploi de la double équation était indiqué par Bachet, d’apres la marche suivie par Diophante lui-même dans le problème suivant, qui ne diffère de celui-ci que parce que chacun des nombres cherchés doit être non pas ajouté, mais retranché du produit des trois, pour former les expressions à égaler à des carrés. Ici Bachet posait de fait

x₁=x, x₂=1, x₃=x−1,

et il ramenait le problème à la double équation

x²−x+1=α², x²−1=β².

17

Под леммой Диофанта Ферма понимает условие, при котором x² + 2αx нацело делится на 2α²(β — α)x  + α²β².

18

Двойное равенство было применено Диофантом при решении следующей задачи (IV₂₃). Но Баше указал, что и задача IV₂₂ может быть сведена к двойному равенству.

19

Ce problème, comme le remarque Bachet, se ramène facilement à décomposer un nombre donné en quatre carrés, quæstion que Diophante n’a soumise a aucune règle, mais qu’il semble considerer comme toujours possible. Bachet affirme qu’en effet tout nombre entier doit être ou carré ou somme de 2, 3, ou 4 carrés entiers; il n’en a pas la démonstration, mais il s’en réfère à l’induction, donne le Tableau de la composition pour tous les nombres de 1 à 120, et ajoute qu’il a poussé l’expérience jusqu’à 325.