Найти четыре числа при условии, что произведение любых двух из них, сложенное с данным числом, дает квадрат.
Возьмем три числа, удовлетворяющих задаче, так что каждое из них, сложенное с данным числом, составит квадрат, как это и было предложено. Пусть четвертым искомым будет x + 1. Получим тройное равенство, решение которого легко находится с помощью нашего метода. Смотри замечание к задаче VI24 [в настоящем издании VI22 — И. Б.].
Этим решается и вопрос, предложенный Баше к задаче III12 [у нас III10 — И. Б.], и помимо того, что метод более общий, он имеет еще то преимущество перед методом Баше, что при нашем решении три первых числа, сложенные с данным, составляют квадрат.
Однако мне до сих пор неизвестно, можно ли решить задачу при условии, что и четвертое число, сложенное с данным, составляет квадрат. Это надо будет еще исследовать.
OBSERVATIO D. P. F
XXIII (p. 220)
Ad quæstionem VIII Libri V.
Invenire tria triangula rectangula quorum area sint æquales.
Num vero inveniri possunt 4. aut etiam plura in infinitum triangula æqualis areæ nihil videtur obstare quo minus quæstio sit possibilis. inquiratur itaque ulterius.
Nos hoc problema construximus imò et data qualibet trianguli areâ infinita triangula eiusdem aræ exhibemus v. g. [verbi gratia] data areâ 6. trianguli 3. 4. 5. en aliud triangulum eiusdem areæ 7/10 120/7 1201/70. aut si placet eadem denominatio 49/70 1200/70 1201/70.
Perpetua et constans methodus hæc est. Exponatur quodlibet triangulum cuius hypotenusa Z. basis B. perpendiculum D. ab eo sic formatur aliud triangulum dissimile eiusdem aræ, nempe formetur abs Z. quadrato et B in D. bis, et planoplana lateribus similia applicentur Z in B. quadratum bis — Z in D. quadratum bis hoc novum triangulŭ habebit aream æqualem aræ præcedentis, ad hoc secundo eâdem methodo formetur tertium, à tertio quartum, à quarto quintum et fient triangula in infinitum dissimilia eiusdem areæ et ne dubites plura tribus dari posse inventis tribus Diophanti 40. 42. 58. 24. 70. 74. et 15. 112. 113. quartum adiungimus dissimile eiusdem tamen areæ. 1412881/1189 hypote.[nusa] 1412880/1189 basis. 1681/1189 perpendic.[ulum]
Et omnibus in eumdem denominatorem ductis fient 4 triangula in integris æqualis areæ quæ sequuntur.
Primum. 47560. 49938. 68962.
Secundum. 28536. 83230. 87986.
Tertium. 17835. 133168. 334357.
Quartum. 1681. 1412880. 1412881
Eâdemque methodo invenientur triangula eiusdem arete in infinitum et quastio sequens ultra Diophanteos limites progredietur.
En etiam alia methodo[25] triangulum cuius aræ facit sextuplum quadrati sicut 3. 4. 5.
Nempe 2896804. 7216803. 7776485.
Перевод:
Но можно ли найти четыре или даже большее число, растущее до бесконечности, треугольников равной площади? Ничто как будто не препятствует тому, чтобы эта задача была возможной; поэтому ее надо глубже исследовать.
Мы разрешили задачу, более того, если дана площадь произвольного треугольника, мы построим бесконечно много других, имеющих ту же площадь: пусть, например, дана площадь 6 треугольника 3, 4, 5, то другим треугольником той же площади будет
7/10, 120/7, 1201/70,
или, если желательно иметь один и тот же знаменатель,
49/70, 1200/70, 1201/70.
Общий и всегда применимый метод таков. Пусть дан произвольный треугольник с гипотенузой Z, основанием B и высотой D. Из него можно вывести другой треугольник, не подобный ему, но одной с ним площади; образуем его из квадрата Z и удвоенного В на D и плоскоплоскостные стороны разделим на удвоенное Z на В квадрат — удвоенное Z на D квадрат[26]. Такой новый треугольник будет иметь площадь, равную площади предыдущего.
Отправляясь от этого второго, таким же методом образуем третий, из третьего четвертый, из четвертого пятый и получим бесконечно много неподобных треугольников одинаковой площади.
Чтобы не было сомнения в возможности построить более трех треугольников, к найденным Диофантом
40, 42, 58; 24, 70, 74; 15, 112, 113
прибавим четвертый, не подобный им и имеющий ту же площадь:
гипотенуза 1412881/1189, основание 1412880/1189, высота 1681/1189.
Если привести эти числа к одному знаменателю, то получим четыре треугольника в целых числах, которые отвечают одной и той же площади:
Первый 47560, 49938, 68962,
Второй 28536, 83230, 87986,
Третий 17835, 133168, 134357,
Четвертый 1681, 1412880, 1412881.
Можно найти тем же методом бесконечно много треугольников одинаковой площади и тем самым распространить задачу Диофанта за пределы, которые он наметил.
Вот еще треугольник, полученный другим методом, площадь которого составляет ушестеренный квадрат, как и у 3, 4, 5, а именно:
2896804, 7216803, 7776485.
OBSERVATIO D. P. F
XXIV (p. 221)
Ad quæstionem IX Libri V.
Invenire tres numeros ut uniuscujusque quadratus, summa trium sive addita sive detracta, faciat quadratum.
Ex supradictis patet posse nos construere generaliter problema invenire quotcumque numeros ut unius cuiusque quadratus summa omnium sive additâ sive detractâ quadratum faciat[27]. Hanc quæstionem forte Bachetus ignoravit Diophantum quippè promovisset ut suprà 31. quæstione lib. 4. et alijs in locis si quæstionis huius solutionem detexisset.
Перевод:
Из сказанного выше явствует, что мы можем решить более общую задачу:
Найти сколько угодно чисел таких, чтобы квадрат каждого из них, увеличенный или уменьшенный на сумму всех этих чисел, составлял бы квадрат.
Баше, вероятно, не знал решения этой задачи; иначе он обобщил бы вопрос Диофанта, как он это сделал для IV31 и других.
OBSERVATIO D. P. F
XXV (p. 224)
Ad commentarium in quæstionem XII Libri V.
QUÆSTIO DIOPHANTI. — Unitatem dividere in duas partes, et utrique segmento datum numerum adjicere et facere quadratum. Oportet autem datum neque imparem esse * neque huius vero quadrati latus est
851/1551
Per quod si dividas singula latera trianguli mox reperti, habebis triangulum quæsitum
12061328235/2047166451. 4492913004/2047166451. 4653/851,
duplum ejus N. unitas majorem habere quadrantem quam est numerus, quo ipsum metitur primus numerus *[28].
BACHETUS… Reliqua verò verba «neque duplum ejus, etc.» adeo vitiata sunt ut nullam commode recipere possint explicationem. Non dubito quidem Diophantum respexisse ad aliquam numerorum non vulgarem proprietatem, qua definitur quis numerus par deligendus sit, ut duplum ejus unitate auctum sit quadratus numerus vel compositus ex duobus quadratis. Sed quid sibi velit in tanta verborum caligine divinare non possum; id oneris relinquam illi qui in codicem aliquem emendatiorem incideint … Sane quod ait Xilander, verba illa corrupta videri velle, debere eum qui datur esse duplum numeri primi, id utique futile est et nulli fundamento nixum, quodque ipsa statim experientia refelli potest: nam, si datus sit 10, is est duplus numeri primi 5 et tamen quæstioni solvendæ minime reperitur idoneus, nam oporteret dividere in duos quadratos numerum 21. Quod quidem impossibile est, ut reor, quum is neque quadratus sit, neque suapte natura compositus ex duobus quadratis.
25
J. de Billy (
«Sit verbi gratia inveniendum triangulum cujus area sit 6, qualis est area trianguli rectanguli 3. 4. 5.»
«Esto unum latus cujuspiam trianguli rectanguli 3, et aliud latus sit 1N+4. Horum quadrata simul sumpta exhibent
25+1Q+8N
pro quadrato hypotenusæ: quare iste numerus æquatur quadrato.»
«Deinde area istius trianguli, 3/2N+6, debet esse sextupla alicujus quadrati (quia postulatur areamn esse 6): ergo ejus areæ sextans quadratus est, ac proinde ille ductus in 36 efficiet quadratum. Efficit autem
9N+36:
igitur hic numerus æquandus est quadrato.»
«En igitur duos terminos duplicatæ æqualitatis:
9N-36 et 25-1Q+8N.
In his autem unitatum numerus quadratus est: ergo valor radicis facile reperietur, eritque
— 60530400/21650409
ac proinde
1N+4 erit 2896804/2405601.
Aliud autem latus circa rectum est 3. Igitur horum quadrata simul sumpta faciunt quadratum cujus latus
7776485/2405600
erit hypotenusa. Ergo habes triangulum rectangulum
7776485/2405601. 2896804/2405601. 3,
cujus area est sextupla cujuspiam quadrati, nempe
724201/2405601;
cujus area est 6.»
«Adverte nos invenisse hoc triangulum per illud quod datum fait 3.4.5, ac per inventum inveniri posse tertium; per tertium invenietur quartum, et sic sic in infinitum.»
27
La question V; 9 de Diophante se résout en effet par une application immédiate de la solution du problème précédent.
Soient
les nombres
(
satisferont a la question posée par Fermat.
28
Le texte grec correspondant à ce passage incompréhensible de la version latine est le suivant dans l’édition de Bachet (leçon du manuscrit fonds grec n° 2379 de la Bibliotheque Nationale):
μήτε ό διπλασίων αύτοΰ Υ μο α. μείζονα έχη μέρος δ. ή μετρεϊται ύπό τοΰ αου. ςου,
et, d’après Bachet, dans un
μήτε ό διπλασίων αύτοΰ άριθμόν μονάδα α. μείζονα έχή μέρος τέταρτον, ή μετρεϊται ύπό τοΰ πρώτου άριθμοΰ.
Ces deux leçons reviennent à la même, et tous les manuscrits connus de Diophante sont corrompus de la même façon.