Глава XIII,
Несколько упрощая, можно заявить: вся математическая сторона теории Эйнштейна основана на одном факте — инвариантности интервала.
Что такое «интервал» и его «инвариантность», сейчас скажем. Правда, в нашей беседе значение понятия интервала не будет раскрыто, и, уверяя читателя, что это очень важно, автор напоминает человека, демонстрирующего фотографию тигра, чтобы доказать, какой это страшный зверь. У собеседника же всегда останется смутное подозрение, что перед ним просто увеличенный портрет котенка. Тем не менее от соблазна продемонстрировать фото все же трудно удержаться…
Пусть произошли два каких-то события А и В.
Пусть координаты этих событий, измеренные в определенной инерциальной системе отсчета K, — xA; yA; zA и xB; yB; zB.
Пусть, наконец, определенные в той же инерциальной системе моменты времени, когда случились эти события, — tA и tB.
Тогда интервал между этими событиями определяется соотношением:
S2AB = c2(tB – tA)2 – (xB – xA)2 – (yB – yA)2 – (zB – zA)2.
И эта величина обладает замечательным свойством.
Допустим, что наши события А и В рассматривают из другой инерциальной системы отсчета K1. Обозначим координаты событий в этой новой системе x1A; y1A; z1A и x1B; y1B; z1B, а моменты времени, когда произошли события, — t1A и t1B. Для наглядности снова представим некую многострадальную железную дорогу — такую, что система отсчета, связанная с полотном дороги, инерциальна. Допустим, это система К. (Если вспомнить, что система отсчета «Земля», строго говоря, неинерциальная, наш рельсовый путь придется проложить где-то в космосе.)
Пусть по дороге равномерно и прямолинейно идет поезд. Тогда система отсчета, связанная с поездом, тоже инерциальна. Это система K1. Где-то на небосклоне вспыхнули две звезды — это события А и В.
Если наблюдатели на полотне дороги и в поезде отметят координаты событий и моменты, когда они произошли, то окажется, что
SAB = S1AB или c2(tB – tA)2 – (xB – xA)2 – (yB – yA)2 – (zB – zA)2 = c2(t1B – t1A)2 – (x1B – x1A)2 – (y1B – y1A)2 – (z1B – z1A)2.
Интервал между событиями неизменен при переходе от одной инерциальной системы к другой. Иначе говоря — интервал инвариантен.
Предыдущее равенство еще удобнее записать так:
S2AB = c2t2AB – r2AB = c2(t1AB)2 – (r1AB)2 = (S1AB)2.
Здесь rAB и r1AB — расстояние между точками, где произошли события A и B в системах K и K1, а tAB и t1AB — соответственно промежутки времени.
Как установили, что интервал остается неизменным, инвариантным при переходе от одной системы к другой?