Примеры: 432 — кубическая, 422 — тетрагональная, или 23 — кубическая, 32 — тригональная.
Следует, однако, показать яснее, что кристаллографические сингонии определяются непосредственно симметрией кристаллов. Наличие тетрагональной оси симметрии предопределяет условие а=b, угол между этими осями равен 90°. Ведь если вращение на 90° должно привести к идентичной картине, необходимо, чтобы отрезки по обеим осям были одинаковы. Аналогичные соотношения имеют место в гексагональной сингонии. В кубической сингонии соответственно три двойные или четверные оси симметрии связаны с четырьмя тройными осями, располагающимися вдоль пространственных диагоналей куба; обе системы осей пересекаются под характеристическим углом 54°44′.
Следует поставить важный вопрос, обсуждение которого еще более прояснит соотношения между сингонией, классом симметрии и элементом симметрии. Расположены ли элементы симметрии в кристалле произвольно или и здесь выявляются закономерные соответствия? Оказывается, что элементы симметрии тесно связаны с кристаллографическими осями. Для отдельных сингонии установлены следующие главные направления (параллельные лучу зрения):
| Сингония | Главные направления |
| Триклинная | Отсутствуют |
| Моноклинная | Ось b |
| Ромбическая | Ось а, ось b, ось с |
| Тетрагональная Гексагональная (Тригональная) | Ось с, оси а, биссектриса угла между осями а |
| Кубическая | Оси а, пространственные диагонали куба, диагонали граней куба |
Главными направлениями в кристалле называются направления, в которых располагаются элементы симметрии. Отсюда следует, что элементы симметрии могут находиться только в строго определенных направлениях.
В триклинной сингонии главное направление не установлено, поскольку придавать направление оси идентичности 1 или 1, т. е. точке, было бы бессмысленно. В моноклинной сингонии достаточно одного направления и для класса 2/m, поскольку эта комбинация оси и плоскости располагается в кристалле таким образом, что нормаль (перпендикуляр) к двойной оси ориентирована параллельно плоскости симметрии. Для других сингонии необходимо указывать три главных направления, хотя в кристаллах этих сингонии может присутствовать большое количество направлений, но два или даже три из них являются равноценными (например, в тетрагональной сингонии а=b или в кубической а = b = с), так что указание одного из таких направлений включает в себя и остальные, ему адекватные.
Поскольку каждый класс симметрии подчиняется какой–либо одной сингонии, с помощью главных направлений определяется положение элементов симметрии в пространстве. Само собой разумеется, что существует и обратная связь, в соответствии с которой кристаллографическим осям отвечают определенные элементы симметрии. Примеры:
| Класс симметрии | Сингония | Положение элементов симметрии |
| 2/m | Моноклинная | 2||b m_|_b |
| 2/m 2/m 2/m | Ромбическая | 2||а 2||b 2||с |
| 4/m 2/m 2/m | Тетрагональная | т _|_a m_|_ b m_|_ с 4 || с 2 || а, b 2 || биссектрисам углов между осями а m_|_c т_|_a, b m_|_ биссектрисам углов между осями а |
| 6 | Гексагональная | 6||с |
| 432 | Кубическая | 4||а, b, с 3 || четырем пространственным диагоналям куба 2 || шести диагоналям граней куба |
|| —параллельно
_|_ — перпендикулярно
Пример класса 6 показывает, что не в каждом классе симметрии все главные направления соответствующей сиигонии сопровождаются элементами симметрии.