В [28] приведены доказательства ассоциативности и коммутативности КЭВ.
Множество внешних квантов экономического взаимодействия образует группу по операции сложения. Обозначим данную группу по операции сложения в виде
где V1 — группа по операции сложения множества КЭВ; i, j = 1, 2, 3, … N – число ОЭВ в ЭС.
Множество внутренних квантов экономического взаимодействия образует группу по операции сложения. Обозначим данную группу по операции сложения в виде
где V2 — группа по операции сложения множества внутренних квантов экономического взаимодействия; k, l = 1, 2, 3, …; N п – число подразделений в каждом ОЭВ.
Множество квантов деяний индивидуумов образует группа по операции сложения. Обозначим данную группу по операции сложения в виде
где V3 — группа по операции сложения множества деяний индивидуумов, работающих на ОЭВ; s = 1, 2, 3, … S — число индивидуумов в ЭС; θ = 1, 2, 3, … Θ – число деяний индивидуумов на ОЭВ; ω = 1, 2, 3, … Ω – возможное число деяний индивидуумов.
Для рассматриваемых множеств квантов экономического взаимодействия существует нулевой элемент, существует обратный элемент и выполняется ассоциативная операция сложения. В [28] приведены доказательства групповых свойств указанных КЭВ. Групповые свойства квантов экономического действия расширили (дополнили) экономику реальными экономическими операциями, которые фактически были и есть в экономике, но они отсутствуют официально. Непроплаты, непоставки продукции, сырья между ОЭВ, неполностью реализованная продукция – это экономические операции, которые были и есть в любой ЭС. Уравнения (2.1) – (2.19), выведенные из аксиом экономики, образовали три основных уравнения, которые определяют операционные отношения, совершаемые объектами экономического действия и образуют единую экономическую систему в виде
где i, j € N — число ОЭВ в экономической системе; k, l € Nп – число подразделений в ОЭВ; θ € Θ – число деяний индивидуумов на ОЭВ; ω € Ω – возможное число деяний индивидуумов; s = 1, 2, 3, … S — число индивидуумов; Ys – идентификатор индивидуума; W*(трудll + материалыmm) – количество используемого труда (трудll – число специалистов, ll = 1, 2, 3, … L) и количество применяемых материалов (материалыmm – наименование и количество материалов, mm = 1, 2, 3, … M); S*(трудll + материалыmm) – стоимость единицы труда (часовые тарифные ставки применяемых специалистов) и стоимость единицы используемых материалов; Bk, Bl = 1, 2, 3, … M1 – применяемое оборудование в подразделениях.
Первое уравнение (2.48) показывает объем закупленных материалов, оборудования и объем реализованной готовой продукции от объектов экономического действия внутри ЭС и, возможно, объем экспортной и импортной продукции. Второе уравнение (2.49) показывает применение закупленных материалов, оборудования в первом уравнении и получаемые затраты труда, материалов и себестоимость выпускаемой продукции внутри каждого ОЭВ. Третье уравнение (2.50) показывает деяния, совершенные индивидуумами, работающие на объектах экономического взаимодействия.
В классической экономике исследуются зависимости объема произведенных благ от стоимости для определенного наименования блага. Откуда берется данная информация и как она получена – остается неизвестным. В квантовой экономике наименование выпускаемого блага, количество и стоимость реализации – это один неделимый квант экономического взаимодействия между Пi и Пj в виде (2.48).
где Пi — объект экономического взаимодействия, покупающий у П j блага наименованием Name (П j) в количестве W(Пj, П i) по стоимости S(Пj, Пi).
Квант экономического взаимодействия в виде (2.48) формируется в процессе экономического отношения между ОЭВ и записывается на сервер. С сервера можно взять несколько КЭВ в виде (2.48) и построить реальные зависимости количества произведенных (реализованных) благ на рынке и соответствующие их стоимости. В этом случае мы получим доказательную базу функциональной зависимости.