Другие системы счисления
Отнюдь не случайно мы используем основание 10 — вспомните, ведь у нас на руках 10 пальцев. Однако вполне можно представить арифметику с использованием другого основания. Применяя правила, сформулированные для основания 10, можно описать представление чисел в системе счисления с основанием 8.
010201025301020100
1. Для представления чисел по основанию 8 используются цифры 0-7.
2. Позиции разных порядков представляют собой степени числа восемь: единицы (1), восьмерки (8), 64-ки и т.д.
3. Используя n позиций, можно представить числа от 0 до (8n-1).
Чтобы различать числа, написанные с использованием разных оснований, это основание записывают рядом с числом как нижний индекс. Тогда число пятнадцать по основанию 10 следует записать как 15(10) и читать как "один, пять по основанию десять".
Таким образом, для представления числа 15(10) по основанию 8 следует записать 17(8). Это читается как "один, семь по основанию восемь". Обратите внимание, что это число также можно прочитать как "пятнадцать", поскольку именно его мы и имеем в виду, просто используем другое обозначение.
Откуда взялось число 17? Цифра 1 означает одну восьмерку, а цифра 7 означает 7 единиц. Одна восьмерка плюс семь единиц равно пятнадцати. Рассмотрим пятнадцать
звездочек: ***** *****
*****
Наше естественное желание — создать две группы: одна содержит десять звездочек, а другая — пять. В десятичной системе эта "композиция" представляется числом
15 (1 десяток и 5 единиц). Но те же звездочки можно сгруппировать и по-другому:
**** *******
****
т.е. имеем две группы: с восемью и семью звездочками. Такое распределение звездочек может служить иллюстрацией представления числа 17(8) с использованием основания восемь (одна восьмерка и семь единиц),
Еще об основаниях
Число пятнадцать по основанию десять представляется как 15, по основанию девять — как 16(9), no основанию восемь — как 17(8), а по основанию семь — как 21(7). В системе счисления по основанию 7 нет цифры 8, поэтому для представления числа пятнадцать нужно использовать две семерки и одну единицу.
Как же прийти к какому-нибудь общему принципу? Чтобы преобразовать десятичное число в число с основанием 7, вспомните о значении каждой порядковой позиции. В семеричной системе счисления переход к следующему порядку будет происходить на значениях, соответствующих десятичным числам: единица, семь, сорок девять, триста сорок три и т.д. Откуда взялись эти числа? Так ведь это же степени числа семь: 7^0, 7^0, 7^2, 7^3 и т.д. Построим следующую таблицу:
4 3 2 1
7^3 7^2 7^1 7^0
343 49 7 1
В первой строке представлен порядок числа. Во второй — степень числа семь, а в третьей — десятичное представление соответствующей степени числа семь.
Чтобы получить представление некоторого десятичного числа в системе счисления с основанием 7, выполните следующую процедуру. Проанализируйте, к числам какого порядка может относиться это значение. Возьмем, к примеру, число 200. Вы уже
знаете, что числа четвертого порядка в семеричной системе счисления начинаются с 343, а потому это может быть только число третьего порядка.
Чтобы узнать, сколько раз число 49 (граничное значение третьего порядка) "поместится" в нашем числе, разделите его на 49. В ответе получается число 4, поэтому поставьте 4 в третью позицию и рассмотрите остаток, который в данном случае тоже равен 4. Поскольку в этом остатке не укладывается ни одной целой семерки, то во второй разряд (второй порядок) помещаем цифру 0. Нетрудно догадаться, что в остатке 4 содержится 4 единицы, поэтому и ставим цифру 4 в первую позицию (порядок единиц). В итоге получаем число 404(7).
Для преобразования числа 968 в систему счисления по основанию 6 используем следующую таблицу:
5 4 3 2 1
6^4 6^3 6^2 6^1 6^0
1296 216 36 6 1
В числе 968 число 1296 (граничное значение пятого порядка) не умещается ни разу, поэтому мы имеем дело с числом четвертого порядка. При делении числа 968 на число 216 (граничное значение четвертого порядка) получается число 4 с остатком, равным 104. В четвертую позицию ставим цифру 4. Делим остаток 104 на число 36 (граничное значение третьего порядка). Получаем в результате деления число 2 и остаток 32. Поэтому третья позиция будет содержать цифру 2. При делении остатка 32 на число 6 (граничное значение второго порядка) получаем 5 и остаток 2. Итак, в ответе имеем число 4252(6), что наглядно показано в следующей таблице: