Большинство задач решаются методом, который сейчас известен как метод ложного положения. Лишь задача 30 решается современным способом — с помощью факторизации и деления. Чтобы объяснить метод ложного положения, рассмотрим в качестве примера задачу 24, которая в наши дни решается с помощью линейного уравнения. Задача звучит так:
«Определите цену кучи, если куча и седьмая часть кучи стоит 19».
В современной нотации условие задачи записывается так: х + 1/7х = 19.
Метод ложного положения заключается в следующем. Мы предполагаем, что неизвестная равна определенному числу, и вычисляем результат для этого значения неизвестной. Так как выбранное нами значение неверно, результат также будет ошибочным, поэтому мы скорректируем значение переменной так, чтобы получить верный результат. Допустим, что цена кучи в нашей задаче равна 7, то есть х = 7. Цена кучи и ее седьмой части будет равна 8. Иными словами, при х = 7х + 1/7x = 8. Далее нужно определить, как следует изменить выбранное нами значение 7, чтобы результат выражения был равен 19, а не 8. Нужно умножить 8 или х на 19/8. Используя только дроби с числителем, равным 1, получим, что 2 + 1/4 + 1/8 = 19/8. Умножив 7 на (2 + 1/4 + 1/8), получим 16 + 1/2 + 1/8. В папирусе также показывается, что это решение верно, так как это значение и его седьмая часть в сумме дают 19.
* * *
ЧИСЛО τ В ЕГИПТЕ
В папирусе Ахмеса приводится древнейшее приближенное значение числа τ, которое несколько больше известного нам: оно равняется 256/81, то есть 3,1604. Возможно, эта оценка является самой древней, но не самой точной. В последующих документах приводятся более точные значения. Из них наиболее близко к истинному 3 + 1/7.
* * *
Все эти расчеты можно было выполнить благодаря изобретению папируса. Ранее использовались таблички из глины, воска и других материалов и выполнять подобные операции на них было сложно и неудобно. Египтяне могли писать на папирусе почти так же, как мы делаем записи на бумаге. Для записи на папирусе было создано иератическое письмо — упрощенное иероглифическое письмо, которое использовали писцы в государственных учреждениях. Позднее появилось демотическое письмо, которое, как следует из названия, использовали простолюдины («демос») в повседневной жизни, а иератическое письмо применялось только для записи религиозных текстов. В ходе упрощения письма форма записи чисел изменилась, и стало возможным появление цифр.
Папирус Эберса (слева), датируемый XVI веком до н. э. Он содержит медицинский текст и является примером иератического письма. В отличие от него Розеттский камень, датируемый II веком до н. э., содержит три типа письма: иероглифическое, демотическое и греческое.
В демотическом письме была решена проблема исходной египетской нотации, в которой каждая степень 10 обозначалась отдельным символом, поэтому для записи, например, числа 9 требовалось девять раз записать символ единицы, для записи числа 99 — девять раз записать символ десятки и девять раз — символ единицы. В демотическом письме были введены отдельные символы для чисел от 1 до 9, для десятков от 10 до 90, аналогично для остальных степеней десяти. Для представления чисел требовалось запоминать соответствующие символы. Может показаться, что запомнить столько символов было непросто, но это не было чем-то непривычным для египетских математиков. Например, для записи сумм и разностей в папирусе Ахмеса используются изображения камней на разных позициях.
Фундаментом греческой математики были вавилонская и египетская математика. Математические методы, созданные египтянами, попали в Грецию благодаря торговле, достигшей расцвета в период между 700 и 600 годом до н. э. Это был золотой век обмена знаниями, когда многие греческие математики совершали путешествия в Египет, чтобы познать секреты тысячелетней мудрости.