Расчёты показывают, что предмет может навсегда покинуть Землю, если он брошен с некоторой минимальной скоростью. Эта скорость называется скоростью убегания и равна примерно 11,2 км/с (более 40 000 км/ч). То, что скорость убегания имеет большое значение, объясняет, почему камень и артиллерийский снаряд падают обратно на Землю. Однако, как бы ни велика была скорость, она достижима для сделанных руками человека ракет, и это объясняет, почему космические аппараты типа «Пионер-10» навсегда покинули Землю.
Формула, определяющая значение скорости убегания, довольно проста. Если мы хотим знать скорость убегания V с поверхности любого астрономического объекта массой М и радиусом R, нужно воспользоваться формулой
V = (2GM/R)½. (3)
Так, для Луны эта формула даёт: М = 7,35•1022 кг, R = 1738 км, и если взять G=6,66•10-8 ед. СГС, то получится V=2,38 км/с. Скорость убегания с поверхности Луны, таким образом, значительно меньше, чем с поверхности Земли. (Это очень счастливое обстоятельство позволило астронавтам экспедиции «Аполлон», высадившимся на Луну, покинуть лунную поверхность, не пользуясь чересчур мощными ракетными двигателями, и вернуться на Землю.)
Формула (3) даёт ключ к пониманию запрещающих свойств чёрной дыры. Представим, что происходит с массивным телом, когда оно сокращается в размерах под действием собственного тяготения. Его масса М остаётся постоянной, а радиус R уменьшается. На рис. 65 показано, каким образом меняется скорость убегания с поверхности звезды, в 10 раз более массивной, чем Солнце, в зависимости от уменьшения радиуса. Заметим, что скорость убегания сравнительно невелика для больших значений R, скажем, при R=10•R☉ (радиус Солнца R☉ =700 000 км), но быстро растёт и достигает значения скорости света
с ≈ 300000 км/с
при радиусе порядка 30 км. Таким образом, если тело сожмётся до размера ещё меньше этого, даже свет не сможет покинуть его поверхность.
Рис. 65. Скорость убегания с поверхности звезды массой в 10 солнечных масс возрастает до скорости света с, когда звезда сжимается от начального радиуса 7 млн. км (равного 10R ☉ ) до радиуса чёрной дыры, равного примерно 30 км (масштаб логарифмический)
Так как свет является самым быстрым (а часто и единственным) переносчиком информации от астрономического тела, ясно, что внешний наблюдатель будет лишён всякой информации об объекте, как только тело сожмётся внутрь сферы критического радиуса
RS = 2GM .
(4) c2
Для объекта, в 10 раз более массивного, чем Солнце, этот радиус равен примерно 30 км. Мы теперь понимаем, что имел в виду Эддингтон, когда говорил, что гравитация станет «достаточно сильной, чтобы удержать излучение», и почему мы не можем засвидетельствовать сжатие Солнца в точку в нашем мысленном эксперименте.
Эддингтон был не прав, однако, в отношении мирного будущего неудержимо сжимающейся звезды, так как заключительные события далеки от мирных я спокойных. Чтобы понять эти последние мгновения жизни звезды, нужно отойти от ньютоновской теории тяготения и обратиться к общей теории относительности Эйнштейна. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Мы бы ушли слишком далеко от нашей главной темы о судьбе звёзд, если бы начали подробно обсуждать, что такое общая теория относительности. Отметим только те её аспекты, которые имеют отношение к обсуждаемой проблеме1231.
1231 Подробный общедоступный рассказ об этом содержится в книге автора «Гравитация без формул». Пер. с англ. М.: Мир, 1985.— Прим. пер.
Общая теория относительности рассматривает тяготение как проявление геометрии пространства. Под геометрией мы, конечно, подразумеваем предмет, имеющий дело с измерениями длин и углов различных фигур в пространстве. Та геометрия, которую мы изучаем в школе, связана с именем греческого математика Евклида, жившего 23 столетия тому назад. Книга Евклида начинается с набора предположений (называемых постулатами или аксиомами) и затем развивает всю структуру геометрии с помощью ряда теорем, основанных на постулатах.
Долгое время математики считали, что евклидова геометрия единственна в том смысле, что не может быть другой геометрии, основанной на других аксиомах. В прошлом веке было осознано, что это утверждение ошибочно, и ряд выдающихся математиков — Лобачевский, Больяи, Гаусс и Риман — привели примеры новых геометрий, которые как логические построения были равноправны с евклидовой. Но то, какая геометрия на самом деле применима при измерениях в нашем пространстве и времени, зависит не только от чисто математических соображений. Лишь физик, произведя реальные измерения, может установить, какая геометрия осуществляется в природе — евклидова или другая.
Эйнштейн в 1915 г. впервые предложил теорию, в которой геометрия пространства — времени, содержащего сгустки вещества и энергии, была неевклидовой. Эта теория, получившая название общей теории относительности, позволила получить уравнения, количественно связывающие неевклидовые свойства геометрии с распределением вещества и энергии. Мы не будем углубляться в количественные детали, а сформулируем качественный результат, что чем сильнее концентрация вещества и энергии в данной области, тем сильнее правила геометрии в этой области отклоняются от евклидовых.
Рис. 66. Пространственно-временная диаграмма показывает, где находятся наблюдатели А и В в разные моменты времени. По горизонтали указано расстояние от центра коллапсирующего объекта, а по вертикали — промежутки времени. Заштрихованная область представляет собой сжимающуюся поверхность коллапсирующего тела, на которой находится наблюдатель В. Точки В1 и В2... указывают равные интервалы времени по часам В. Световые сигналы, показанные стрелками, достигают наблюдателя А в точках А1, А2... со все увеличивающимся разрывом во времени. Сигнал, посланный в точке В8, никогда не дойдёт до А. Сигналы в точках В9, В10... направлены внутрь; они не могут пересечь барьера Шварцшильда. Вскоре после точки В10 мир для В приходит к концу
Так как теория Эйнштейна затрагивает не только пространство, но и время, изменяется и процедура измерения времени. Так, часы вблизи массивного тела будут идти медленнее, чем вдали от него. На рис. 66 проиллюстрирован этот эффект в мысленном эксперименте, когда наблюдатель А, находящийся далеко от коллапсирующего массивного тела, получает световые сигналы от наблюдателя В, сидящего на поверхности этого тела.
Предположим, что в этом эксперименте В посылает в сторону А световые сигналы каждую секунду по своим (т. е. В) часам. Наблюдатель А будет принимать эти сигналы не с интервалом в 1 с, а с большими интервалами. Эти интервалы будут все больше и больше в процессе сжатия тела, так как с увеличением плотности вещества вблизи В геометрия вокруг него будет становиться все более неевклидовой и часы наблюдателя В будут идти все медленнее и медленнее по сравнению с часами А. Когда В достигнет барьера, определяемого радиусом R = RS по нашей формуле (4), разрыв между последовательными сигналами, принимаемыми А, вырастет до бесконечности! Иными словами, будущее наблюдателя В после того, как он пересечёт этот барьер и провалится внутрь, никогда не станет известным наблюдателю А, даже если он будет жить вечно!