Дед-Мороз существует и Дед-Мороз принес подарок Ване. (1)
Итак, здесь мы вновь столкнулись с неизоморфностью естественного языка и языка формальной логики, о чем, без сомнения, следует помнить преподавателю.
Теперь мы обсудим некоторые довольно любопытные вопросы, касающиеся взаимодействия хода логических рассуждений с ходом времени.
Общеизвестно, что никакое минимально содержательное рассуждение в естественном языке не может обойтись без слов «если…, то…». В логике аналогом этого союза является операция импликация.
Напомним, однако, что в отличие от естественной речи, где союз «если …, то…» применяется к парам высказываний, связанным по смыслу, имитирующая этот союз импликация применима к любой паре высказываний, независимо от того, связаны эти высказывания по смыслу или нет.
В частности, в силу введенного в формальной логике определения, условились считать истинными не только такие высказывания как «Если данное число делится на 9, то оно делится на 3», но и высказывания вида: «Если дважды два – четыре, то Волга впадает в Каспийское море», а также высказывания, составленные из таких пар, в которых первое из двух утверждений (посылка) ложно: «Если дважды два – пять, то Волга впадает в Каспийское море»; «Если дважды два – пять, то Волга впадает в Аральское море».
Может показаться, что импликация (обычно обозначаемая стрелкой →) представляет собой безобидное непосредственное обобщение союза «если…, то…». Но тогда логические законы, справедливые для операции →, казалось бы, не должны приводить к противоречию, если пользоваться ими в естественной речи.
Одним из таких законов является закон контрапозиции, утверждающий, что при любых истинностных значениях высказываний А и В высказывания А → В и (не В) → (не А) равносильны (т.е. одновременно истинны или одновременно ложны).
Рассмотрим теперь общеизвестную истинную импликацию
«Если ветер дует, то деревья качаются». (1)
Тогда высказыванием, противоположным к обратному (по отношению к (1)), очевидно, будет
«Если деревья не качаются, то ветер не дует». (1)
В полном соответствии с законом контрапозиции это высказывание также оказывается истинным.
Посмотрим теперь, что будет, если мы переформулируем оба утверждения (1) и (1) в прошедшем времени. Тогда наши утверждения примут соответственно вид
«Если ветер дул, то деревья качались»; (2)
«Если деревья не качались, то ветер не дул». (2)
Вновь оба утверждения оказались истинными (и закон контрапозиции по-прежнему не нарушен).
Сформулируем теперь наши высказывания в будущем времени. Казалось бы, ничто не предвещает «краха» закона контрапозиции. Однако, мы получаем следующий довольно странный результат:
«Если ветер будет дуть, то деревья будут качаться»; (3)
«Если деревья не будут качаться, то ветер не будет дуть». (3)
Неужели закон контрапозиции неверен?
Объяснение кажущегося парадокса состоит в следующем.
В естественном языке мирно сосуществуют два различных по смыслу союза «если…, то…». Первый из них, который мы назовем логическим следованием, фактически утверждает:
«Если А, то одновременно с А имеет место и В».
Второй из упомянутых союзов, который мы назовем причинным следованием, в развернутом виде утверждает нечто иное:
«Если с некоторого момента А, то вскоре после этого имеет место и В».
Операция →, с которой мы имели дело всюду выше, представляла собой обобщение именно логического следования. Закон контрапозиции, справедливость которого установлена в формальной логике для операции →, вне всякого сомнения верен и для этого первого смыслового значения союза «если…, то…». При этом использование будущего времени при формулировке высказываний А и В никак не влияет на справедливость закона контрапозиции для операции логического следования. Например, одновременно истинны высказывания:
«Если число, которое ты задумаешь, будет делиться на 9, то оно будет делиться и на 3» и «Если число, которое ты задумаешь, не будет делиться на 3, то оно не будет делиться и на 9».
Отличие этой пары высказываний от (3), (3) очевидно!