Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно разобраться в том, почему к парам высказываний (1), (1) и (2), (2) закон контрапозиции оказался применим, а также в том, как следует видоизменить этот закон, чтобы он стал применим и к высказываниям в будущем времени, содержащим операцию причинного следования.
Эффект, аналогичный кажущемуся нарушению закона контрапозиции, возникает и для логического союза «тогда и только тогда, когда…». Например, высказывание
«На улице станет светло тогда и только тогда, когда взойдет солнце», (4)
очевидно, истинно и имеет, на первый взгляд, структуру А↔В. Однако, попытка поменять А и В местами немедленно приводит к абсурду:
«Солнце взойдет тогда и только тогда, когда на улице станет светло». (4)
Любопытно, что высказывания, аналогичные (4), но сформулированные в прошедшем и настоящем времени, по-прежнему абсурдны (в отличие от (1) и (2)).
По просьбе авторов в одном из вузов среди первокурсников был проведен опрос:
Можно ли « распилить» куб на четыре куба?
(При этом куб, который требовалось «распилить» указанным образом, был изображен на доске в проекции Кабине; см. рис. 13.1. В этой проекции отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют ½ их действительной длины.)
Первокурсники дружно (50 человек из 60) ответили – «можно!»
В группе, где студенты были знакомы с началами логики, вопрос был задан в следующей «научной» форме (и было дано значительное время для обдумывания):
Истинно ли утверждение: <<Куб невозможно «распилить» на четыре куба>>?
Ответом было всеобщее: «Нет, это утверждение ложно!»
Однако, распилить куб на четыре куба действительно невозможно. Нетрудно показать, что наименьшее число кубов, на которые можно «распилить» исходный куб, равно восьми. Доказать это можно, например, так. Никакие две вершины исходного (большого) куба не могут одновременно принадлежать ни одному из получившихся в результате распиливания кубиков. Однако, у исходного куба 8 вершин. Поэтому маленьких кубиков после распиливания получится по крайней мере восемь.
Надо сказать, что, познакомившись с этим простым рассуждением, студенты были сильно удивлены.
Вообще, на наш взгляд, должен существовать обязательный (и для гуманитариев, и для «технарей») список задач, развивающих воображение. И, пожалуй, задачу о распиливании куба следовало бы в него включить.
Задача. Истинно ли утверждение: <<Квадрат невозможно разрезать на три квадрата>>?
Выпускники школ обычно прекрасно справляются с «раскрытием скобок» в выражениях, где нужно воспользоваться дистрибутивностью умножения относительно сложения и вычитания:
(a ± b)·c = a·c ± b·c, (1)
с·(a ± b) = c·a ± c·b (2)
и правильно раскрывают скобки в выражениях вида
(a ± b):c = a:c ± b:c (3)
(пользуясь дистрибутивностью справа деления относительно сложения и вычитания).
Неприятность, однако, заключается в том, что многие ученики, по аналогии с парой соотношений (1), (2), «раскрывают скобки» и в формулах вида c: (a ± b), приравнивая это выражение
c:a ± c:b (что, естественно, является грубой ошибкой). Доказать, что, вообще говоря,
c: (a ± b) ≠ c:a ± c:b (4)
очень легко с помощью контрпримера:
Преподаватель, ограничиваясь подобным контрпримером, предлагает ученикам просто-напросто запомнить, что для умножения имеет место двусторонняя дистрибутивность относительно сложения и вычитания, а для деления – справедлива только дистрибутивность справа. Однако запомненное, но не понятое сведение, как показывает наш педагогический опыт, учениками к концу обучения в школе забывается.