Однако причина отличия пары (1), (2) от (3), (4 ) очень проста и заключается в том, что умножение вещественных чисел коммутативно, а деление – нет. Действительно, из (1) сразу же вытекает соотношение (2) в силу коммутативности умножения ; в то же время из (3) вывести аналогичное равенство невозможно в силу некоммутативности деления. На наш взгляд, сообщать ученикам это простое соображение совершенно необходимо.
Как хорошо известно, если имеются одно, два или три свойства (которые обозначим (a), (b), (c)), характеризующие элементы некоторого множества М, то классы, на которые разбиваются элементы множества М, удобно геометрически представлять на диаграмме Эйлера. Если же число свойств, по которым идет классификация элементов множества М, больше трех, то пользоваться диаграммой Эйлера неудобно. В общем случае, когда рассматриваются n свойств, справедлива следующая теорема (см. [4]): максимальное число различных классов, на которые при помощи n свойств может быть разбито множество М, равно 2n
Заметим, однако, что если с самого начала использовать не диаграмму Эйлера, а предлагаемую ниже ее модификацию, то сформулированная теорема может быть доказана на рисунке. Рассмотрим вначале случай трех свойств; «места» для элементов множества М, обладающих свойством (a), будем условно обводить кружком, «места» для элементов, обладающих свойством (b) – квадратом; «места» для элементов со свойством (с) – треугольником.
Вначале отметим в большом прямоугольнике, изображающем множество М, место для элементов со свойством (a) – для этого, очевидно, достаточно нарисовать один кружок. Тем самым элементы из М, в принципе, могут быть разбиты на два класса – на элементы со свойством (a) и на элементы без этого свойства (любой из этих классов может быть пуст). Далее, отметим на рисунке места, где в принципе могут располагаться элементы со свойством (b): для этого, очевидно, придется нарисовать два квадрата: один внутри кружка и еще один вне кружка. Теперь будем отмечать места для элементов со свойством (с): нам, очевидно, придется нарисовать четыре треугольника (см. рис. 15.1). Каждый раз, добавляя возможные места для элементов со следующим новым свойством, мы рисуем в точности столько новых символов, сколько было построено различных возможных классов на предыдущем шаге. Иными словами, на каждом новом шаге число различных возможных классов, отвечающих нашему разбиению, удваивается. Поскольку для одного-единственного свойства (a) возможных классов было 2, мы, очевидно, получили наглядное геометрическое доказательство сформулированной выше теоремы.
В заключение параграфа приведем задачу, иллюстрирующую связь между классическими диаграммами Эйлера и предложенным их вариантом.
Задача. На острове Буяне расположена пиратская база, где в круглых и прямоугольных башнях содержатся 113 пленников. Круглых башен 7, прямоугольных 10. Три круглые башни – внутри трех прямоугольных, четыре круглые башни – внутри четырех круглых. Семьдесят семь пленников содержатся в круглых башнях, восемьдесят восемь – в прямоугольных. Однажды все 113 пленников сбежали – им удалось перелезть через стены башен. Скольким пленникам пришлось перелезать через две стены?
Пусть М – некоторое множество (для определенности – конечное). Отношением на множестве М называют закон, который сопоставляет некоторым элементам из М какие-нибудь (другие или те же самые) элементы этого множества.
Таким образом, отношение на множестве – это чрезвычайно общее понятие. Здесь мы напомним лишь некоторые свойства отношений, которые понадобятся для решения приводимой ниже задачи про Змея Горыныча.
Но прежде рассмотрим пример. Пусть М – это множество из 10 человек, а Р – отношение, заданное на М следующим образом:
P: «человек а – брат человека b».
Тот факт, что «человек а – брат человека b» мы будем коротко записывать в виде: aPb.
Изобразим теперь элементы нашего множества М в виде точек на плоскости, обозначив их соответственно a,b,c,d,…. При этом, если, например, имеет место соотношение aPb, из точки a проведем стрелку к точке b и с другими точками поступим аналогичным образом (см. рис. 16.1). Рисунок, который у нас получился, называется графом отношения P.