Если просто нарисовать на листе бумаги точку фломастером или ручкой, то у ребенка может создаться впечатление, что точка – это небольшая клякса, поэтому добавляют: «Точка не имеет толщины, точка – это место». Замечательно, что дети легко понимают, что именно имеется в виду.
Приведу теперь еще одну цитату из вышеупомянутой статьи А. Маркова:
<<… известно, что основные нейрологические механизмы пространственного восприятия у людей и крыс примерно одинаковы, поэтому результаты этих исследований почти наверняка приложимы к людям.>>
Однако, если допустить, что представление о точке является для человека врожденным, то, похоже, приходится признать, что врожденным является и (неявное) представление о свободной воле. Действительно, в этом случае врожденным должно быть и представление об окружающем пространстве как о континууме, состоящем из точек. Но что значит добраться из точки А в точку В по пути АВ? Это значит, что какова бы ни была произвольно взятая точка на этом пути, в ней придется побывать…
Замечание. Итак, “переменная” и ”бесконечность” – понятия , непосредственно базирующиеся на (по-видимому, врожденном) понятии “свобода воли”. А как обстоят дела с обычным (количественным) натуральным числом - неужели и оно опирается на понятие “свобода воли”? На наш взгляд , ответ на этот вопрос , как ни странно, положителен. Действительно, чтобы определить, например, (количественное) число “пять”, нам нужно мысленно соединить тоненькими ниточками пальцы руки с рассматриваемым набором предметов, устанавливая таким способом взаимно-однозначное соответствие между пальцами и этими предметами. Но эта процедура невозможна без представления о том, что ни одна мысленно проведенная нить не должна рваться и мы , путешествуя взглядом вдоль нее, должны побывать в произвольно взятой точке этой нити.
Цель этого параграфа – разобраться в том, при решении какого именно класса текстовых задач алгебраический метод должен в начальной школе уступать место арифметическому методу.
С точки зрения педагога арифметический метод хорош тем, что он одновременно активизирует и наглядно-образное мышление ученика, и его логику. Алгебраический метод обычно быстрее ведет к цели, но в значительно меньшей степени нацелен на развитие мышления в широком смысле этого слова.
Решая задачу арифметическим способом, младший школьник, как правило, оперирует именованными числами, что соответствует наиболее развитому у него типу мышления – наглядно-образному.
В то же время решение задач алгебраическим способом минимизирует нагрузку на наглядно-образное мышление ребенка, решение текстовой задачи в основном сводится к оперированию символами. Научить ребенка такому оперированию, безусловно, важно. Однако, здесь имеются «подводные камни». Дело в том, что при решении некоторых задач, у детей происходит утрата понимания смысла производимых ими математических действий, и задача перестает выполнять свою развивающую функцию, превращается в рутинный «пример». Рассмотрим в этой связи две задачи, предлагавшиеся третьеклассникам, обучавшимся по системе Л.Г. Петерсон.
Задача А. Мышка и птичка (игрушечные) вместе стоят 10 рублей. 5 мышек и 6 птичек стоят 56 рублей. Сколько стоят мышка и птичка по отдельности?
Решение 1 (арифметическое).
1) Сколько комплектов игрушек (мышка плюс птичка) можно составить из 5 мышек и 6 птичек? – 5 комплектов.
2) Сколько стоят эти 5 комплектов игрушек? 5·10 = 50 (руб.)
3) Сколько птичек останется без мышек? – Одна.
4) Сколько стоит 1 птичка? 56 – 50 = 6 (руб.)
5) Сколько стоит одна мышка? 10 – 6 = 4 (руб.)
Ответ: мышка стоит 4 рубля, птичка стоит 6 рублей.
Решение 2 (алгебраическое). Пусть x – цена мышки, y – цена птички. Тогда система из двух уравнений, соответствующая задаче А, должна была бы содержать именованные величины и иметь вид
Фактически же, математические преобразования обычно проводят над системой, в которой имена величин опускаются; в данном случае – над системой