Решение алгебраическое. Пусть х – количество соловьев, у – количество елок. В результате имеем систему из двух уравнений:
х = у + 1, (3)
х = (у – 1)·2. (4)
Подставляя х из (3) в (4), получаем
у + 1 = 2у – 2, (4)
откуда у = 3, х = 4.
Попробуем теперь решить эту же задачу при помощи «моделирования в отрезках». Соотношение (3), конечно, может быть изображено графически; однако, после того как масштаб на рисунке, изображающем соотношение (3), выбран, соотношение (4) изобразить «в отрезках» уже не удается. (Точно так же без предварительных алгебраических преобразований не удается изобразить «в отрезках» и равенство (4).)
Решение арифметическое (основанное на мысленном моделировании).
1. Представим себе ряд из нескольких елок. На каждой сидит по соловью. Один соловей – «лишний», он висит в воздухе рядом с последней елкой – для него не хватило елки.
2. Пересадим «лишнего» соловья на первую елку, на ней теперь два соловья.
3. Пересадим теперь соловья с последней елки на вторую елку. На второй елке теперь тоже два соловья. А на последней елке – ни одного!
4. Никакие елки, кроме первой, второй и последней уже не нужны. Трех елок хватило, чтобы выполнить все условия задачи.
Ответ: три елки, четыре соловья.
В заключение приведем еще одну задачу, также не допускающую моделирование «в отрезках», но легко решаемую при помощи мысленного моделирования.
Задача 3. В школьном саду посадили клены по 16 штук в каждом ряду и столько же лип по 20 штук в каждом ряду, причем рядов получилось на 2 меньше. Во сколько рядов посажены клены?
Решение алгебраическое. Пусть х – количество рядов из кленов, у – количество рядов из лип. Тогда имеем систему:
у = х – 2, (5)
16х = 20у. (6)
Подставляя выражение для у из (5) в (6), получаем
Нетрудно видеть, однако, что (непосредственно, без предварительных алгебраических преобразований) при помощи моделирования «в отрезках» система (5), (6) не решается.
Решение арифметическое (основанное на мысленном моделировании). Будем пересаживать липы так, чтобы они были посажены такими же рядами, как клены. Для этого выкопаем 4 липы из первого ряда и посадим их в новый ряд за последним рядом лип. Чтобы заполнить первый новый ряд, нужно выкопать по 4 липы из первых четырех старых рядов. Чтобы заполнить второй новый ряд нужно выкопать по 4 липы из следующих четырех старых рядов. Поэтому, посадив липы так же как клены, мы образуем 4 + 4 + 2 рядов.
Ответ: клены были посажены в 10 рядов.
Итак, мы видим, что достаточно обширный класс задач, не поддающийся решению при помощи моделирования «в отрезках», может быть решен арифметическим способом при помощи мысленного моделирования. Этот класс задач, безусловно, должен предшествовать в курсе математики задачам, которые рассчитаны на решение алгебраическим способом.
Замечание. В заключение попробуем охарактеризовать задачи, которые могут быть решены при помощи моделирования «в отрезках».
Прежде всего, это задачи, которые сводятся к системе из двух уравнений с диагональной матрицей (коэффициенты системы предполагаются целочисленными). Иными словами – это системы относительно неизвестных х, у вида
x = p, (7)
mx + ny = q. (8)
Системы вида
x = ay, (9)
bx + cy = d, (10)
(где a, b, c, d – целочисленные коэффициенты) также непосредственно, т.е. без предварительного применения алгебраических преобразований, поддаются решению при помощи моделирования «в отрезках». Обе системы (7), (8) и (9), (10) характеризуются тем, что отрезок, изображающий одно из неизвестных (х или у) может быть выбран с самого начала произвольным образом.
В этом параграфе мы разберем еще одну известную текстовую задачу – «на проценты». Алгебраическое решение этой задачи, как правило, вызывает у учеников недоумение и воспринимается ими в известной мере формально.