Выведем общую формулу, определяющую изменение вектора при параллельном переносе вдоль бесконечно малого замкнутого контура. Это изменение ΔАk можно записать в виде
где интеграл берётся по данному контуру. Подставляя вместо δАk выражение (85.5), имеем
стоящий под интегралом вектор Аi меняется по мере его переноса вдоль контура" [9, с.349].
Сначала отметим очевидную, на наш взгляд, ошибку на рисунке: штрихом должен быть обозначен вектор 1, направленный вертикально. Нетрудно заметить, что этот рисунок практически тождественен нашему рис.2a. Следовательно, если, как и там, мы здесь также "срежем" верхушку траектории в точке A, то сразу же обнаружим, что вектор на самом деле не вернулся в исходную точку!
Рис.7. Перенос вектора в искривлённом 2-мерном пространстве по замкнутой траектории не меняет его направления при возвращении в исходную точку
На рис.7 мы исправили отмеченную выше неточность в обозначениях векторов в точке А. Добавленная траектория красного цвета отчётливо показала, что в исходном варианте вектор 1' на самом деле не вернулся в исходную точку А. Новая обойденная вектором поверхность пространства подкрашена голубоватым цветом. Возвращение в исходную точку оказалось иллюзией, поскольку все промежуточные положения вектора вблизи точки A на самом деле слились в ней воедино, при этом соответствующие им направления отображены не былы. С нашими исправлениями видно, что из исходной точки A' вектор проходит, как и в исходном варианте, через точки B и С. Однако конченой точкой при перемещении вектора 3 является теперь не исходная точка A', а точка A''. Следовательно, в этой точке вектор 1' и не должен совпадать по направленю с ветором 1 (малинового цвета). Чтобы вернуться в действительно исходную точку этот вектор 1' должен пройти ещё ряд промежуточных положений – 1'', 1''', 1''''. Только после этого он окажется в непосредственной близости от исходной точки A'. Теперь уже ему ничто не мешает слиться с исходным направлением вектоора 1 (малинового) в действительно исходной точке A'.
Выводы
Из приведённых доводов прямо следует: параллельный перенос вектора в рамках пространства не позволяет получить информацию о кривизне пространства, в частности, на поверхности сферы. Несложно обнаружить, что подобное несоответствие возникает и на поверхности тора, и догадаться, что это справедливо в отношении любой искривленной поверхности. Но как же тогда следует относиться к строгим аналитическим выкладкам и доказательствам возможности этого? Ответ содержится в приведенном анализе. Как в аналитических выкладках, так и в графических примерах при параллельном переносе вектор не возвращен в исходное положение, поэтому и сохраняет параметры последнего участка траектории.
Кроме того, возникает весьма серьёзная проблема. Если тензорный формализм приводит к такому результату, изменению направления вектора при его переносе в криволинейном пространства, то неизбежно следует один из двух выводов. Если теория даёт некий вывод, не соответствующий реальному положению вещей, то такая теория не может быть верной. Даже если она тензорная. С другой стороны, если считать её всё-таки верной, безупречной, то такое расхождение с реальными фактами может быть следствием некорректного использования теории.
Литература
1. Бергман П., Загадки гравитации. Перевод с английского В.А.Угарова. – М.: Изд. "Наука", 1969 г., 216 с.
2. Бескин В.С., Гравитация и астрофизика. – М.: Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН. Учебно-Научный Комплекс, 2007
3. Вергелес С.Н., Лекции по теории гравитации. Учебное пособие. – М., МФТИ, 2001.– 428с.
4. Владимиров Ю.С., Классическая теория гравитации: Учебное пособие. – М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009, 264 с.
5. Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.
6. Иваненко Д.Д, Сарданашвили Г.А., Гравитация / Отв. ред. П.И.Фомин. Изд. 5-е. – М.: Издательство ЛКИ, 2012, 200с.
7. Мёллер К., Теория относительности. Изд. 2-е. Пер. с англ. Под ред. проф. Д. Иваненко. М., Атомиздат, 1975, 400 с.
8. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т.1-3. – М.: "Мир", 1977
9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. П. Теория поля. – 8-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 536 с. – (Т. II).
10. Путенихин П.В. Логические основания многомерных пространств. – Саратов: "АМИРИТ", 2018. – 396 с., цв. илл., ISBN 978-5-907035-29-4, URL: https://www.twirpx.org/file/3089642/