И наконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.
Каким может быть минимальный, наименее радикальный комплекс мер, позволяющих избежать известных парадоксов?
Один путь — это выделение наряду с истинными и ложными предложениями также бессмысленных предложений. Этот путь был принят Б. Расселом. Парадоксальные рассуждения были объявлены им бессмысленными на том основании, что в них нарушаются требования логической грамматики. Не всякое предложение, не нарушающее правил обычной грамматики, является осмысленным — оно должно удовлетворять также правилам особой, логической грамматики.
Б. Рассел построил теорию логических типов — своеобразную логическую грамматику, задачей которой было устранение всех известных антиномий. В дальнейшем эта теория была существенно упрощена и получила название простой теории типов.
Основная идея теории типов — выделение разных в логическом отношении типов предметов, введение своеобразной иерархии, или лестницы, рассматриваемых объектов. К низшему, или нулевому, типу относятся индивидуальные объекты, не являющиеся множествами. К первому типу относятся множества объектов нулевого типа, то есть индивидов; ко второму — множества множеств индивидов и т. д. Иными словами, проводится различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов и т. д. При этом вводятся определенные ограничения на конструирование предложений. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств — приписывать свойствам и т. д. Но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов.
Возьмем серию предложений:
Этот дом — красный.
Красное — это цвет.
Цвет — это оптическое явление.
В этих предложениях выражение «этот дом» обозначает определенный предмет, слово «красный» указывает на свойство, присущее данному предмету, «являться цветом» — на свойство этого свойства («быть красным») и «быть оптическим явлением» — указывает на свойство свойства «быть цветом», принадлежащего свойству «быть красным». Здесь мы имеем дело не только с предметами и их свойствами, но и со свойствами свойств («свойство быть красным имеет свойство быть цветом»), и даже со свойствами свойств свойств.
Все три предложения из приведенной серии являются, конечно, осмысленными. Они построены в соответствии с требованиями теории типов. А скажем, предложение «Этот дом есть цвет» нарушает данные требования. Оно приписывает предмету ту характеристику, которая может принадлежать только свойствам, но не предметам. Аналогичное нарушение содержится и в предложении «Этот дом является оптическим явлением». Оба эти предложения должны быть отнесены к бессмысленным.
Простая теория типов устраняет парадокс Рассела. Однако для устранения парадоксов «лжеца» и Берри простое разделение рассматриваемых объектов на типы уже недостаточно. Необходимо вводить дополнительно некоторое упорядочение внутри самих типов.
Исключение парадоксов может быть достигнуто также на пути отказа от использования «слишком больших» множеств, подобных множеству всех множеств. Этот путь был предложен немецким математиком Е. Цермело, связавшим появление парадоксов с неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены им некоторым списком аксиом, сформулированных так, чтобы из них не выводились известные парадоксы. Вместе с тем эти аксиомы были достаточно сильны для вывода из них обычных рассуждений классической математики, но без парадоксов. Ни эти два, ни другие предлагавшиеся пути устранения парадоксов не являются общепризнанными. Нет единого убеждения, что какая-то из предложенных теорий разрешает логические парадоксы, а не просто отбрасывает их без глубокого объяснения. Проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и по-прежнему важна.
ПАРАДОКСЫ — ТОЛЬКО СИМПТОМ
У Г. Фреге, признаваемого теперь многими величайшим логиком прошлого века, был, к сожалению, очень скверный характер. Кроме того, он был безоговорочен и даже жесток в своей критике современников. Возможно, поэтому его вклад в логику и обоснование математики долго не получали признания. И вот когда оно начало приходить к нему, молодой английский логик Б. Рассел написал ему, что в системе, опубликованной в первом томе его наиболее важной книги «Основные законы арифметики», возникает противоречие. Второй том этой книги был уже в печати, и Г. Фреге лишь добавил к нему специальное приложение, в котором изложил это противоречие (позднее названное «парадоксом Рассела») и признал, что он не способен его устранить.