Уравнения – самый мощный инструмент физиков, помогающий им в стремлении познать окружающий мир. Но в то же время это одна из наиболее кошмарных вещей, с которыми большинство из нас сталкивается в школьные годы. Прежде чем продолжить, мы должны обратиться к тем читателям, у которых появились дурные предчувствия. Понятно, что у вас разная математическая подготовка и вы по-разному относитесь к формулам и уравнениям. Мы просим тех, кто уверен в себе и своих знаниях, проявить терпение и надеемся, что вы не почувствуете себя слишком уязвленными нашей подачей материала. На простейшем уровне уравнение позволяет предсказать результаты эксперимента даже без необходимости его проведения. Очень простой пример, который мы будем использовать в книге для доказательства всяких невероятных фактов о природе пространства и времени, – знаменитая теорема Пифагора, связывающая длины сторон прямоугольного треугольника.
Пифагор утверждал, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Математически теорему Пифагора можно записать как x² + y² = z², где z – длина гипотенузы (самой длинной стороны прямоугольного треугольника), а x и y – длины двух других сторон, называемых катетами (рис. 1). Символы x, y и z рассматриваются как заполнители для фактических длин сторон, а x² – математическая запись, означающая x, умноженный на x. Например, 32 = 9, 72 = 49 и так далее. В использовании символов x, y и z нет ничего особенного. Мы могли бы применить в качестве заполнителя любой символ. Возможно, теорема Пифагора покажется вам более понятной, если мы запишем ее как 
. В этот раз длина гипотенузы представлена смайликом. Вот пример применения теоремы: если длины катетов прямоугольного треугольника равны трем и четырем сантиметрам, то, согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы этого треугольника будет равна пяти сантиметрам, поскольку 32 + 42 = 52. Безусловно, числа не обязательно должны быть целыми. Измерение длин сторон треугольника с помощью линейки – это эксперимент, хотя и довольно скучный. Пифагор избавил нас от проблем, выведя уравнение, позволяющее вычислить длину третьей стороны прямоугольного треугольника, зная длины двух других. Ключевой момент состоит в том, что для физика уравнения выражают отношения между физическими объектами и представляют собой способ точного описания происходящего в реальном мире.
Рис. 1
Уравнения Максвелла намного сложнее с математической точки зрения, но, по существу, выполняют ту же работу. Например, они могут сказать вам, в каком направлении станет отклоняться стрелка компаса при прохождении по проводу импульса электрического тока, – без необходимости смотреть на компас. Однако самое замечательное в уравнениях то, что они позволяют выявить глубокие связи между величинами, не являющимися непосредственными результатами экспериментов, и могут привести к гораздо более глубокому пониманию природы. К уравнениям Максвелла это утверждение относится в полной мере. Центральное место в математическом описании электрических и магнитных явлений у Максвелла занимают абстрактные электрическое и магнитное поля, впервые описанные Фарадеем. Максвелл записал свои уравнения на языке полей просто потому, что у него не было иного выбора. Поля были единственным способом объединить широкий спектр электрических и магнитных явлений, обнаруженных Фарадеем и его коллегами, в единый унифицированный набор уравнений. Подобно тому как уравнение Пифагора выражает связь между длинами сторон прямоугольного треугольника, уравнения Максвелла демонстрируют связь между электрическими зарядами и токами, а также электрическим и магнитным полями, которые они создают. Гениальность Максвелла в том, что он вывел концепцию полей из тени и положил ее в основу теории электромагнетизма. Если бы вы, например, спросили Максвелла, почему батарея дает текущий по проводу ток, то он ответил бы следующее: «Потому что батарея создает в проводе электрическое поле, а поле заставляет ток перемещаться». Если бы вы поинтересовались, почему стрелка компаса отклоняется под воздействием расположенного поблизости магнита, он мог бы ответить так: «Потому что вокруг магнита есть магнитное поле, которое приводит к отклонению стрелки». А на вопрос, почему движущийся магнит вызывает протекание тока в катушке провода, Максвелл мог бы дать такое объяснение: «Изменение потока магнитного поля внутри петли из провода обусловливает появление электрического поля, которое вызывает движение тока». В случае каждого из этих очень разных явлений описание всегда возвращается к наличию электрических и магнитных полей и их взаимодействию друг с другом. В физике введение новой объединяющей концепции нередко дает возможность упростить и уточнить представления о нескольких явлениях, которые на первый взгляд кажутся не связанными друг с другом. Впрочем, это относится не только к физике, но и к науке в целом. В случае Максвелла такой подход привел к простой и унифицированной, к тому же прекрасно работающей – в том смысле, что она позволяет пояснить и предсказать результаты любых новаторских экспериментов Фарадея и его коллег, – картине всех наблюдаемых электрических и магнитных явлений. Это достижение замечательно уже само по себе, но во время работы над уравнениями произошло нечто еще более замечательное. Максвелл был вынужден включить в них дополнительный фрагмент, не продиктованный экспериментами. С его точки зрения, это требовалось исключительно для того, чтобы уравнения были математически последовательными. Это стало одним из самых глубоких и в некотором смысле самых таинственных озарений в современной науке. Физические объекты в реальном мире ведут себя предсказуемо, следуя несколько более сложным математическим законам, чем те, о которых знал Пифагор, когда доказывал свою знаменитую теорему. Это эмпирический факт, который ни в каком смысле нельзя назвать очевидным. В 1960 году лауреат Нобелевской премии, физик-теоретик Юджин Вигнер написал знаменитое эссе под названием «Непостижимая эффективность математики в естественных науках», в котором утверждал, что способность человека к открытию законов природы гораздо менее удивительна, чем само существование таких законов. Опыт учит нас, что законы природы, закономерности в поведении вещей и явлений на самом деле существуют и эти законы лучше всего формулировать на языке математики. Это приводит к тому, что наряду с физическими наблюдениями при создании физических теорий можно опираться и на математические закономерности – и такое случалось неоднократно на протяжении всей истории науки. В этой книге мы также познакомимся с подобными случаями, и то, что так действительно происходит, – одна из удивительных тайн нашей Вселенной.