Отчего некоторые геометрические построения (например, деление произвольного угла на три равные части) не удается выполнить циркулем и линейкой ? В течение 23 веков никто не мог ответить на этот вопрос а Гаусс смог. Дело в том, что циркулем и линейкой можно построить только корень квадратного уравнения по его коэффициентам. Поэтому все числа, достижимые циркулем и линейкой, лежат в числовых полях, размерности которых суть степени двойки. Но синус угла, равного одной трети данного, лежит в поле размерности 3 - и не умещается ни в каком поле размерности 2 , поскольку степень двойки не делится на 3. Вот и все рассуждение: оно замечательно не трудностью, а неожиданностью сопоставлений, которые осеняют только гения - и обычно в молодости.
В 1821 году Гауссу исполнилось 44 года. Нельзя сказать, что возраст открытий миновал; но их темп снизился, поскольку Гаусс (как и Ньютон) не любит читать чужие работы. Все, что ему понадобится для дела, он сам откроет и докажет! Ведь он талантливее любого из своих современников...
Да, это так - но ВСЕ ВМЕСТЕ они сильнее Гаусса, потому что в сотню умных голов приходит больше оригинальных идей, чем в одну гениальную голову. Да и дерзости у молодых побольше. Вот, в 1818 году Гауссу показалось, что он решил вторую великую проблему геометров Эллады: недоказуемость евклидова постулата о параллельных прямых. Именно ПОКАЗАЛОСЬ: Гаусс попробовал заменить этот постулат альтернативным утверждением, постарался сделать из этой гипотезы как можно больше разных выводов - и не нашел ни одного противоречия! Похоже, что возможны НЕСКОЛЬКО разных непротиворечивых геометрий. Одна из них (евклидова) реализована на плоскости; но где реализуются остальные ? Придумать такие поверхности Гаусс пока не умеет - и потому молчит о своем открытии, стесняясь поделиться им с новой дерзкой молодежью.
А молодежь не дремлет - ни в Германии, ни за ее пределами. В 1821 году два не известных Гауссу математика устремились в погоню за мэтром. Это Николай Лобачевский (новоиспеченный профессор и декан математического факультета в Казани) и Янош Больяи (лейтенант кавалерии в маленьком венгерском гарнизоне Темешвароша). Скоро они догонят Гаусса - и хотя построить наглядную модель неевклидовой геометрии им тоже не удастся, но они заявят миру о своих открытиях. Гаусс молча проглотит эту пилюлю. А построить желанный пример неевклидовой поверхности удастся итальянцу Эуджению Бельтрами в 1863 году - после смерти Гаусса, Лобачевского и Больяи.
Другая гроза заходит на Гаусса с севера. Молодой норвежец Нильс Абель, восхищенный теоремой о невыполнимости построений циркулем и линейкой, решил сходным путем разобраться с другой загадкой. Отчего хитроумным итальянцам еще в 16 веке удалось найти радикальные формулы для решения уравнений-многочленов степени 3 или 4, но дальше продвинуться не удалось ? И вообще: какие уравнения решаются с помощью формул-радикалов, а какие не решаются этим путем ? В 1824 году Абель найдет решение этой проблемы, и немедленно пошлет текст своего доказательства Гауссу. Однако геттингенский мудрец и тут промолчит; вскоре Абель умрет, но алгебраическое знамя, упущенное Гауссом, подхватят другие молодые руки.
Итак, в ученом сообществе Европы через полтораста лет после его рождения произошел раскол, удивительно схожий с расколом в общественной жизни европейцев. В те же 1780-е годы, когда эра Просвещения сменилась эрой Революции, основанное Кеплером и Галилеем монархическое здание Математического Естествознания распалось на две независимые республики: Математическую и Физическую. Первая из них - президентская, а вторая парламентская; между ними дружественные дипломатические отношения; но они стремятся к разным целям, и не склонны к тесному общению.
Физики перешли от комплексного постижения законов Природы к изучению детального строения ее стихий - химических элементов. В этом деле господствует Эксперимент; вскоре лучший экспериментатор Европы - Фарадей откровенно заявит коллегам: "Если я чего-то в физике не понимаю без математики, то с нею и подавно не пойму!" И никто в Физической Республике не осудит лидера за такое признание...
Напротив - Математическая Республика живет по законам, придуманным геометрами Эллады. Но есть одно отличие: эллины располагали лишь двумя разными математическими мирами (Арифметикой и Геометрией), а у европейцев 19 века таких миров много, и они сознательно увеличивают их число.
Например, Ньютон построил из производных и интегралов единый математический анализ. Но Эйлер разделил его на три независимых мира: функции действительного переменного, функции комплексного переменного и функции бесконечного множества переменных (то есть, вариационное исчисление).
Далее, Ферма создал алгебраическую теорию чисел. Сто лет спустя Эйлер и Ламберт выделили из нее аналитическую теорию чисел, и Ламберт отметил эту реформу блестящим открытием: доказал, наконец, что П - иррациональное число.
Тот же Ламберт впервые предположил, что постулат Евклида о параллельных прямых не выводится из прочих аксиом геометрии - и вот уже Гаусс, Больяи и Лобачевский рассекают единый мир Геометрии на несколько независимых миров.
Так будет и впредь: например, Гаусс уже задумался о том, всякое ли иррациональное число является корнем некоего целого многочлена. Через 30 лет Лиувилль построит первые числа, не обладающие этим свойством и теория чисел разделится еще раз: на алгебраическую и "трансцендентную". Так математическая наука плавно переходит от изучения ОДНОГО "естественного" мира моделей, навязанных человеку Природой ИЗВНЕ (через зрение и иные органы чувств) к изучению ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ модельных миров, навязываемых Природой ИЗНУТРИ человеческого мозга. Этот новый путь в науке кажется бесконечным.
Иное дело - в политике, где первыми на подобный путь вступили французские революционеры. У них был общий предтеча - Томас Гоббс, который впервые после Аристотеля предложил научную модель государства (как огромного квазиживого существа - Левиафана) и объяснил революцию, как естественный отбор среди левиафанов. Его ведут люди, которым стало некомфортно жить под властью старого монстра, и они строят новое чудище на месте прежнего.