Берем натуральный ряд и сопоставим множество чисел ряда и множество квадратов этих чисел соответственно:
1, 2, 3, 4, 5… n;
1, 4, 9, 16, 25… n2.
Совершенно четко видно, что второе, нижнее семейство (где собраны лишь квадраты чисел) — только часть первого, верхнего. Наверху ряд развертывается последовательно, а нижний ряд с пропусками: 1 и сразу 4 (растеряв 2 и 3); 4 и рядом уже 9 (с утратой чисел 5, 6, 7, 8). А дальше «провалы» все внушительнее, когда теряются уже целые «гирлянды» числовых значений, например, между числами 16, 25, 36 и т. д. Итак, убеждаемся, что нижнее множество — лишь часть верхнего. А между тем множества эти равны, эквивалентны, второе ничуть не меньше первого. Как так?
Не забудем, что мы имеем дело с бесконечными совокупностями. Поэтому какое бы сколь угодно большое число верхнего множества мы ни взяли, его всегда можно возвести в квадрат, то есть получить в нижнем ряду соответствующий элемент. И наоборот, поскольку в нижнем ряду собраны только квадраты чисел, любому элементу нижнего ряда найдется соответствующий элемент верхнего ряда. Налицо равномощность множеств, их взаимнооднозначное соответствие. Это и показывает, что часть равна целому. Говорят, когда Г. Кантор провел доказательство теоремы, он воскликнул: «Я вижу это, но не верю этому!»
Однако какое отношение имеют ко всему сказанному схоласты? Оказывается, прямое. Среди вопросов, их занимавших, был и парадокс святой троицы. Согласно учению церкви бог един, но в трех лицах: бог-отец, бог-сын и бог — дух святой, Каждая из частей самостоятельна, но тождественна целому, то есть каждая ипостась троицы есть столь же бог, как и сам бог (просто бог).
Итак, часть равна целому. Г. Кантор, будучи человеком религиозным, знал это в подробностях и, как видим, продуктивно использовал в своем творчестве. Получилось, что автор теории множеств, доказав равенство части целому, «разрешил» также и парадокс триединства божия.
Выдающийся математик на рубеже XIX–XX столетий, соотечественник Г. Кантора, Ф. Клейн, рассматривая истоки указанных теоретико-множественных положений, прямо называет «виновника» — схоластическую философию. «Недаром, — писал Ф. Клейн, — Георг Кантор, творец теории множеств, учился у схоластов». Заметьте, не обращался, даже и не изучал, а именно учился у схоластов.
На связь идей Г. Кантора с положениями средневековой схоластики указывает и советский философ Б. Грязнов, более того, намек на это содержится и у самого Г. Кантора в статье «Учение о трансфинитном» (то есть сверхконечном, бесконечном).
Наконец, еще одно свидетельство в пользу плодотворности теологических представлений. Оказывается, некоторые размышления, проведенные известным чешским математиком XIX века Б. Больцано, опирались на идеи, посеянные все теми же средневековыми схоластами. Речь касается проблемы непрерывности. Как отмечает Ф. Клейн, те первые побуждения к своим исследованиям Б. Больцано почерпнул из схоластических традиций, которые он освоил благодаря своему богословскому образованию.
Характерно, что современники чешского ученого не понимали всей глубины этой темы, оценивая его старания как абсолютно бесплодные. Вот что писал, например, французский математик той поры С. Лакруа: «Подобные умствования… нам в настоящее время не нужны» — и выносит Б. Больцано буквально те же упреки, какие неизменно адресуют схоластам: спекулятивные упражнения, умствования, эквилибристика.
То была глубокая ошибка. Идея непрерывности не испытала «разрыва» после работ Б. Больцано. Более того, интерес к ней в ученом мире нарастал и в последующем оформился как одно из ведущих течений математической мысли. Нам еще предстоит к нему вернуться.
Как видим, в научном поиске все пригождается: любое значение, даже если оно теологического свойства, может оказаться в фокусе событий и выполнить отнюдь не теологическое назначение. Поэтому, находясь в состоянии поиска, устремляясь к решению познавательной задачи, исследователь должен как можно просторнее распахнуть свою душу, открыть все шлюзы интеллекта, чтобы быть готовым впустить любую мысль.
И если уж речь зашла о религии, отметим, что, будучи начальной формой освоения мира и потому предшествуя в этом качестве науке, она, по словам К. Маркса, явилась первой общей теорией этого мира, его «энциклопедическим содержанием», его логикой и моральной санкцией.