Давно было ясно, что основное препятствие к вычислению π — это присутствие J. В предыдущую эпоху развития математики ради устранения J не ограничились бы даже двумя секущими на прямоугольной площади, а произвели бы вдобавок отделение меньшей части — так называемая процедура устранения по произволу, которая ныне считается не вполне законной.
Ныне же одни предлагали исключить J на основании процедуры, состоящей из двух действий, одно из которых называется «получением достатка», а второе — «обращением остатка»; до её применения, однако, дело не дошло, поскольку J сделались нерешительными. Другие сторонники данного метода предпочли бы, чтобы J исключались [18]. Получившим классическое образование едва ли стоит напоминать, что есть аблятив от [19] и что это прекрасное и выразительное словцо знаменует желание устранить J через принудительное религиозное освидетельствование.
Затем предлагалось устранить J посредством [20]. Главное возражение по поводу этой процедуры заключалось в том, что в результате J возводится в неоправданно высокую степень, π в конечном счёте приобретает иррациональное значение [21].
Для оценки π предлагались и другие процедуры, которых нам нет нужды здесь рассматривать. Согласно одной из них, π должна считаться заданной величиной: эта теория была поддержана многими выдающимися мужами в Кембридже и кое-где ещё, но стоило её применить, как оказалось, что J отвечают отрицательным знаком — а это, разумеется, не способствовало делу.
Теперь мы приступаем к описанию новейшего метода, который увенчался блистательным и неожиданным успехом и который может быть назван как
Математики уже исследовали геометрическое место точек HPL и ввели эту функцию в свои расчёты. Это, однако, не способствовало получению столь чаемого численного значения — даже при переносе HPL в противоположную сторону уравнения с изменением знака. Процедура, которую мы собираемся описать, заключается главным образом в подстановке G на место и в приложении давления.
Пусть функция φ(HGL) [22] развёрнута в ряд; допустим, что его сумма есть абсолютно твёрдое тело, двигающееся фиксированной прямой. Буквой µ обозначим коэффициент морального обязательства, а буквой е — целесообразность. Буквой F обозначим Силу, действующую равным образом во всех направлениях и изменяющуюся обратно пропорционально; символ А пусть означает Компетентного, а символ Е — Просвещённого [23].
Разложим теперь φ(HGL) по теореме [24]. Сама функция исчезает при исчезновении переменной:
φ(0) = 0
φ'(0) = (простая константа)
φ''(0) = 2·J
φ'''(0) = 2·3·H
φ''''(0) = 2·3·4·S
φ'''''(0) = 2·3·4·5·P
φ''''''(0) = 2·3·4·5·6·J
и далее представленные буквами величины повторяются в том же порядке.
Приведённое выше доказательство взято из учёного трактата под названием « » [25], где оно целую главу; вычисление π приведено в следующей главе. Автор пользуется случаем указать на несколько замечательных свойств, которыми обладает вышеприведённая и существование которых едва ли можно было подозревать заранее. Эта последовательность является функцией как µ, так и е, но если рассматривать её в качестве твёрдого тела, то оказывается, что µ равняется нулю и остаётся только е.
Теперь мы имеем уравнение [26]:
φ(HGL) = 0 + C + J + H + S + P + J.
Такое суммирование дало минимальное значение пая; оно, однако, рассматривалось лишь как первое приближение, и вся процедура повторялась под давлением EAF, что дало для пая частное максимальное значение. Последовательно повышая EAF, в конце получили результат:
π = S = 500,00000.
Данный результат значительно отличается даже от величины в 400,00000; но не должно возникнуть сомнений, что данная процедура выполнена корректно и что весь учёный мир теперь можно с окончательным решением этой труднейшей проблемы.
ДИНАМИКА ПАРТИЙНОЙ ГОРЯЧКИ
Был чудный осенний вечер; пока земля уворачивалась от огромного светила, слепившего её с запада, в атмосфере началось великолепное действо оптической аберрации, и как раз об эту пору вдали показались две прямые, пролагавшие свой утомительный путь по плоской поверхности. Из них старшая благодаря длительной практике не худо справлялась со столь мучительным для более молодой и импульсивной линии делом — ровно лежать между своими крайними точками; молодая же в девической порывистости непрестанно отклонялась и принимала вид то гиперболы, то какой-нибудь иной столь же романтичной и необузданной кривой. Обеим довелось жить и любить; судьба и встрявшая в их отношения поверхность по сию пору удерживали их порознь, но теперь этому пришёл конец: их пересекла некая прямая, образовав при этом два внутренних угла, в сумме меньших чем два прямых [28]. Мгновение было незабываемым, и пока они продолжали своё путешествие, вдоль плоскости изохронными звуковыми волнами дрожал шёпот: «Да! По продолжении мы, наконец, встретимся!» (См. Курс математики Якоби, гл. 1.)
Мы начали с вышеприведённой цитаты, поскольку она является яркой иллюстрацией того преимущества, которое даёт введение человеческого элемента в ту область Математики, что ранее лишь наводила скуку. Кто скажет, какие зародыши романтических приключений, до сих пор недоступные наблюдению, не могут залегать в её глубине? Кто способен утверждать, что параллелограмм, по поводу которого, только что рассчитанного нами в нашем невежестве и начерченного на бумаге, мы заявили во всеуслышание, будто нам известен полный набор его свойств, не может с рождения пылать страстью к внешним углам, сочувствовать внутренним или угрюмо роптать на собственную неспособность вписаться в круг? Какому математику из когда-либо склонявшихся над гиперболой, чтобы раскромсать несчастную кривую секущими прямыми в попытке доказать некое свойство, которое в конце концов, возможно, есть просто-напросто клевета, не чудилось под конец, будто обиженная линия в молчаливом упрёке воздевает свои асимптоты или с презрительной жалостью мигает ему своим единственным фокусом?
Подобные вопросы породили нижеследующие странички. Пусть неотделанные и торопливые, они всё же более полно, чем это пытались сделать другие авторы прежде, выставляют напоказ некоторые явления, происходящие от света, или «просвещения», рассматриваемого как особая сила.
Июнь, 1865
19
В ортодоксальном иудейском праве Галахе это слово означает существо неопределённого пола (наподобие ). Здесь может означать ‘то, не знаю что’. И всё-таки ; Доджсон шутит.
20
Первоначально возникнув во французском, где означал канонизирующего (
В свою очередь и Доджсон не пренебрегал созданием новых терминов, когда это казалось ему необходимым (., например, работу «Евклид и его современные соперники»).
21
Слово «иррациональный» тут, опять же, имеет двойной смысл. Употребляясь в качестве бытового синонима понятиям «неразумный», «противоречащий здравому смыслу» (и тогда символ π «пи» везде следует прочитывать как «пай»), это слово есть также особый термин теории чисел. Числа подразделяются, во-первых, рациональные и иррациональные. Рациональные — это целые или дробные числа, как положительные, так и отрицательные, которые можно представить в виде
Иррациональность числа π доказал в 1767 г. Иоганн Ламберт, исследуя сходимость разложения в цепную дробь. остаток, соответственно, 0,62515… и т. д. Тогда непрерывная каноническая цепная дробь, представляющая число π, записывается так:
π=3+1/(7+ 1/(15+ 1/(1+ 1/(292+⋯)))).
Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами (а таково любое число, выражающееся в квадратных радикалах), называются алгебраическими числами. Во второй половине XIX века Георг Кантор доказал, что алгебраических чисел меньше, чем вещественных, из чего следовало, что должны существовать иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими. Такие числа предвидел ещё Эйлер, назвавший их (в 1775 г.) трансцендентными, т. е. ‘выходящими за пределы’. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел, однако, не позволяло назвать и тем более вычислить хотя бы одно трансцендентное число. Но затем (в 1871 г.) Эрмит доказал трансцендентность числа
22
23
Здесь
24
Математические методы, упомянутые выше, использовали медленно сходящиеся ряды либо сложные операции извлечения квадратного корня. Впервые быстро сходящийся ряд для вычисления числа π получил Леонард Эйлер (автор самого обозначения «π»), разложив в ряд Тейлора (частный случай — ряд , см. ниже) арктангенсы формулы Джона (1706) π/4 = 4(1/5) – (1/239). Таким способом Эйлер получил число π с точностью до сто пятьдесят третьего знака.
25
Название, скорее всего, является вымышленным и шутливым; оно переводится с латыни как ‘[книга императора] Августа «О историков»’ и образовано по общему типу. Не исключено, что само же выражение «О историков» («De ») отталкивается от знаменательного католического догмата «О
27
Байрон, «Дон Жуан», песнь XI, строфа 60. В этой строфе говорится о том, что недоброжелательная рецензия ускорила безвременную смерть Джона Китса. Сам же памфлет есть геометризированное изложение соперничества Уильяма Гладстона и Гэторна Харди за право представлять Оксфордский университет в парламенте, а также критика в целом так называемой «системы пропорционального представительства» — механизма, по которому университет избирал своих членов в парламент вплоть до 1950 года, когда соответствующая привилегия, пожалованная ему в 1604 году, была упразднена.