Да предположим, че първоначалното разположение на нашата точка е някъде върху кръга, очертаващ обхвата — ориентацията не е от значение. И така z = 1.
Тъй като 1 на квадрат е също едно, Z = 1. Точката може да се върти по кръга, на винаги ще остане върху него.
Сега да разгледаме случая, когато z е по-голямо от единица. Вече видяхме как стойностите бързо нарастват към безкрайност, ако z е равно на 2, но същото ще стане рано или късно дори ако е съвсем малко по-голямо от 1, да речем 1,000000000000000000001. Сега вижте какво става:
При първото повдигане на квадрат Z става
1,000000000000000000002,
тогава
1,000000000000000000004
1,000000000000000000008
1,000000000000000000016
1,000000000000000000032
и т.н. на стотици страници разпечатка. Практически стойността е все още точно 1. Точката не се е помръднала видимо наляво и надясно от единицата. Тя все още е разположена върху кръга.
Но нулите бавно намаляват, а цифрите продължават неумолимо своя ход наляво към единицата. Съвсем неочаквано се появяват цифри на четвърто, трето, второ, първо място след десетичната точка и всички те буквално експлодират, както сочи следният пример:
1,001 1,002 1,004 1,008 1,016 1,032
1,066 1,136 1,292 1,668 2,783 7,745
59,987 3598,467 12948970
167675700000000
28115140000000000000000000000
(Тук се претоварва и най-мощният компютър) От дясната страна на единицата може да има милион и дори милиард нули, но резултатът ще бъде един и същ. Рано или късно цифрите ще пропълзят до десетичната точка и тогава Z ще поеме пътя си към безкрайността.
Сега да разгледаме другия случай. Да приемем, че z е съвсем малко по-малко от 1, да речем нещо като
0,99999999999999999999
Както и преди, не се случва нищо особено, докато продължаваме по серията, освен че числата най-вдясно стават все по-малки. Но след няколко хиляди или милион итерации — истинска катастрофа! Z внезапно се свива до едно нищо, разтваряйки се в безкрайни редици от нули…
Проверете го на собствения си компютър. Може да борави само с 12 знака? Добре, тогава го приемете на доверие: колкото пъти се опитате да повдигнете това число на квадрат, отговорът ще е един и същ…
Резултатите от тази малка „програма“ може да бъдат обобщени в три закона, които са толкова очевидни, че не си струва изобщо да ги формулираме. Но никоя математическа истина не е тривиална и след няколко допълнителни стъпки напред тези закони ще ни отведат в една изумително красива вселена.
Ето трите закона на Програмата за повдигане на квадрат:
1. Ако първоначалното число z е равно на 1, резултатът остава винаги 1.
2. Ако първоначалното число z е по-голямо от 1, резултатът клони към безкрайност.
3. Ако първоначалното число z е по-малко от 1, резултатът клони към 0.
Кръгът с радиус 1 е нещо като периметър или ако ви харесва повече — ограда, която разделя равнината на две отделни територии. Числата извън нея, подчиняващи се на закона за повдигане на квадрат, са свободни да полетят към безкрайността; числата вътре в тази област са своеобразни пленници, обречени на унищожение, т.е. да се превърнат в 0.
Тук някой може да каже: „Досега говорихте само за разположение спрямо отправната точка. За да фиксираме точно положението на нашата точка, трябва да ни дадете и ориентацията.“
Съвсем правилна забележка. За щастие в този процес на селекция, при това разделяне на стойностите на z в две отделни групи, ориентацията е без значение; същото се отнася и за всички посоки в радиус г. В нашия прост случай — да го наречем К-множество — можем да ги пренебрегнем. Когато стигнем до по-сложния случай на М-множеството, където ориентацията е от особено важно значение, ще приложим един чудесен математически трик, който ще ни помогне. Ще въведем използването на сложни или имагинерни числа (които в действителност изобщо не са сложни и още по-малко имагинерни). Но засега те не са ни нужни и ви обещавам да не ги споменавам отново.
К-множеството лежи в очертанията на една равнина с граница кръгът, който я обгражда. Този кръг е една непрекъсната крива, лишена от всякаква плътност. Дори да я разглеждате под електронен микроскоп, тя ще изглежда винаги по един и същи начин. Можете да разширите К-множеството до размерите на вселената, неговата граница ще си остане с нулева плътност. Освен това в нея няма никакви пробиви; тя е абсолютно непроницаема бариера, разделяща завинаги стойностите на z по-малки от 1 и онези, по-големи от 1.
Сега най-сетне сме готови да се заемем с М-множеството, където всичките досегашни съвсем очевидни идеи се обръщат с главата наопаки. И така: затегнете наопаки…
През 70-те години, френският математик Беноа Манделброт, работещ в Харвард и „Ай Би Ем“, започна да изследва уравнението, което го направи световноизвестен и което сега ще изпиша в динамичния му вид: