Операция Р(р, н, к) на самом деле следующая: снять диск с вершины стержня н и поместить его на вершину стержня к.
Если представить игру в виде 3 строк с помощью последовательностей чисел, то, таким образом, достаточно снять крайнее правое число со строки н и присоединить его справа к строке к.
Если вы хотите представить стержни вертикально, создайте, кроме того, внутреннее представление с помощью трех цепочек символов и составьте процедуру вывода на экран. Это, как кажется, проще всего. Если вы не любите цепочек символов, используйте три таблицы, но вы не выиграете в легкости.
Игра 33.
Если ваш компьютер допускает рекурсию, заставьте работать рекурсивную процедуру и понаблюдайте за движением дисков. В противном случае выполните вручную рекурсивную процедуру для маленького n (например 4), что поможет вам наглядно увидеть то, что уже доказано: два диска одинаковой четности не могут оказаться друг на друге.
Вы должны заметить, что
— диск с номером 1 перемещается один раз за любые два хода,
— он перемещается циклически, причем всегда в одном направлении, а именно
либо 0 — 1 1 — 2 2 — 0…
либо 0 — 2 2 — 1 1 — 0…
Следующий ход, перемещающий диск с номером 1, полностью определен. Недостаточно проверить это, это нужно доказать. После этого итеративное решение тривиально. Можете ли вы априори определить перемещение диска с номером 1 в зависимости от четности числа дисков?
Можете ли вы сказать что-нибудь о движении остальных дисков?
Пронумеруйте ходы. Диск с номером 1 перемещается в ходах с нечетными номерами. Проверьте, а затем докажите, что диск с номером 2 перемещается в ходах с номерами 2, 6, 10, …, т. е. в ходах, номер которых кратен двум, но не кратен четырем. Обобщите. Исходя отсюда, вы можете сказать, зная номер хода, какой диск будет перемещаться, с какого стержня он уйдет и куда придет.
Красиво, не правда ли?
Игра 34.
Существование четвертого стержня не упрощает стратегию, даже наоборот. Одна из возможностей состоит в том, чтобы перемещать р верхних дисков, используя 4 стержня, затем оставшиеся диски — используя только 3 стержня (поскольку четвертый стержень блокирован башней самых маленьких дисков). Наконец, вы восстанавливаете р маленьких дисков над остальными, используя 4 стержня. Обозначим через
f4(р) — число ходов для перемещения р дисков, используя 4 стержня;
f3(р) — число ходов для перемещения р дисков, используя 3 стержня (известное число, см. игру 31).
Тогда наша стратегия дает
f4(n) = f4(р) + f3(n−p) + f4(р).
Нужно выбрать значение р, которое минимизирует эту сумму.
Первые несколько значений для /4 получить легко:
f4(1) = 1, f4(2) = 3, f4(3) = 5.
В этих случаях на самом деле есть только один способ действовать. Вычислите сначала на руках следующие значения. Воспользуйтесь вашим компьютером, чтобы составить таблицу, дающую последовательные значения для f4(n), вместе с оптимальным значением р для каждого n (оно не всегда однозначно определено. Вы по своему произволу можете выбирать из них наименьшее).
Игра 35.
Итеративная программа для игры с 4 стержнями есть обобщение итеративной программы для игры с 3 стержнями. Это видно по рекурсивной форме. Она не идеально проста…
Это замечание позволит вам перейти к любому числу стержней.
Игра 36.
Нужно снова взять все, что было нами оставлено в игре 23. Предположите, что для некоторого р существует такое значение q, что
SG(p, q) = 0.
Покажите, что в этом случае SG(р, q') = 0 для всех q' < q. Следовательно, если р таково, что SG(р, 1) = 0, то должно существовать некоторое g такое, что SG(р, g) = 0, но SG(р, g + 1) ≠ 0; g — наибольшее из значений q, дающих равенство SG(р, q) = 0.
Нужно построить последовательность pi, gi.