Первая прогулка может быть выбрана произвольно. Возьмем:
а б в
г д е
ж з и
Беря в качестве строк столбцы этой таблицы первой прогулки, получаем вторую прогулку:
а г ж
б д з
в е и
Диагонали приводят к двум оставшимся прогулкам:
а д и а е з
в г з б г и
б е ж в д ж
Все благополучно, Попробуем теперь 15.
Первая прогулка
а б в г д е ж з и к л м н о п
Если вы возьмете в качестве трех первых строк второй прогулки начала столбцов первой прогулки:
а г ж
б д з
в е и
вы не сможете далее организовать 6 оставшихся букв в двух строчках, не повторяя пар. Но вы можете сохранить первые пары в этих трех строках и взять в качестве последних элементов соответственно ж, к, н. Посредством этого приема получаются в двух столбцах по три неиспользованных элемента, которые и можно взять в качестве новых строк. Получается вторая прогулка:
а г ж
б д к
в е н
з л о
и м п
Сейчас мы докажем некоторые свойства искомых прогулок. Но здесь я делаю вам подарок. Мне потребовалось несколько дней, чтобы сообразить все то, что следует ниже. Почему бы вам не предоставить себе несколько дней на размышление? Тогда закройте книгу на этом месте…
Рассмотрим подмножество из семи букв а, б, в, г, д, е, ж. Исходя из этих элементов, можно образовать 7 * 6/2 = 21 пару. В первой прогулке участвует 6 из этих пар:
а — б а — в б — в з — д г — е д — в
Во второй прогулке их пять:
а — г а — ж г — ж б — д в — е
что составляет всего 11 пар. Таким образом, на оставшиеся 5 прогулок остается распределить 10 пар. Но поскольку есть 7 элементов и только 5 строк, то в каждой прогулке будет встречаться не менее двух таких нар. Следовательно, в каждой из оставшихся прогулок встретятся в точности две таких пары. Обозначим через x любую из выделенных букв, а остальные буквы будем обозначать точками. Оставшиеся 5 прогулок имеют вид
x x .
x x .
x . .
x . .
x . .
Но можно еще кое-что уточнить. Рассмотрим только первые 6 букв а, б, в, г, д, е. Они дают 15 пар, из которых 9 реализуются в двух первых прогулках. Таким образом, среди 5 оставшихся прогулок надлежит распределить 6 из них, что означает по одной паре в четырех из них и две в последней. Поэтому получаем:
x x . x x . x x . x x . x x .
x ж . x ж . x ж . x ж . x x .
x . . x . . x . . x . . x . .
x . . x . . x . . x . . x . .
x . . x . . x . . x . . ж . .
Заменим ж на к или к и получим тот же результат. Покажите самостоятельно, что в конце концов получаются следующие схемы
x x . x x . x x . x x . x x .
x ж . x ж . x ж . x ж . x x .
x к . x к . x к . x к . x . .
x н . x н . x н . x н . x . .
x . . x . . x . . x . . ж к н
Вам остается расставить сначала а, б, в, г, д, е вместо букв x, не возобновляя уже использованных пар, а затем расставить буквы з, и, л, м, о, п вместо точек, соблюдая то же правило. На моем компьютере это отнимает не более 3 минут.