Оставим Ο большое. Теперь перед нами функция Мебиуса. Есть несколько способов ввести функцию Мебиуса. Подойдем к ней со стороны Золотого Ключа.
Возьмем Золотой Ключ и перевернем его вверх ногами, т.е. возьмем обратную величину к каждой стороне равенства в выражении (7.2). Очевидно, если A = B и при этом ни A, ни B не равны нулю, то 1/A = 1/B. Получаем (15.1)
Теперь раскроем скобки в правой части. На первый взгляд, это сильно сказано: как-никак, сомножителей в скобках бесконечно много. На самом деле процедура требует несколько большего внимания и обоснования, чем мы можем здесь ей уделить, но в конце концов мы получим полезный и верный результат, так что в данном случае цель оправдывает средства.
Раскрытие скобок все мы изучали в курсе элементарной алгебры. Чтобы перемножить (а + b)(p + q), сначала умножаем a на (p + q), что дает ар + aq. Затем умножаем b на (p + q), что дает bp + bq. А потом, поскольку в скобках у нас a плюс b, мы складываем вместе то, что получилось, и окончательный ответ имеет вид ap + aq + bp + bq. Если надо перемножить три скобки (а + b)(p + q)(u + v), то повторение этих действий дает apu +aqu + bpu + bqu + apv + aqv + bpv + bqv. Перемножение четырех скобок (а + b)(p + q)(u + v)(x + у) дает
Грандиозность того, что получается, начинает внушать некоторые опасения. А ведь нам предстоит перемножить бесконечное число скобок! Фокус состоит в том, чтобы посмотреть на это дело глазами математика. Из чего составлено выражение (15.2)? Ну, это сумма некоторого числа членов. Как эти члены выглядят? Выберем наугад какой-нибудь один из них, скажем aqvy. Сюда входит a из первой скобки, q из второй, v из третьей и y из четвертой. Это произведение, составленное из чисел, выбранных по одному из каждой скобки. И все выражение целиком получается в результате всех возможных комбинаций того, как мы выбираем эти числа из скобок.
Как только вы смогли это увидеть, перемножение бесконечного числа скобок больше не проблема. В ответе будет сумма — разумеется, бесконечная — членов, каждый из которых получен путем выбора одного числа из каждой скобки и перемножения всего, что выбрали. Если сложить результаты всех таких возможных выборов, то и получится ответ. Однако в том виде, как эта процедура описана, она все еще выглядит несколько устрашающей. Согласно сказанному, каждый член в нашей бесконечной сумме есть бесконечное произведение. Да, так оно и есть, но, поскольку каждая скобка в правой части выражения (15.1) содержит 1, наша жизнь делается приятнее за счет того, что мы будем выбирать бесконечное число единиц и лишь конечное число не-единиц. В конце концов, поскольку каждый не-единичный член в каждой скобке есть число между −1/2 и 0, перемножение бесконечно большого числа таких членов дает результат, величина которого (я имею в виду — без учета знака) заведомо не больше, чем (1/2)∞, а это равно нулю! Теперь смотрите, как я построю бесконечную сумму.
Первый член в бесконечной сумме: берем 1 из каждой скобки. Это даст бесконечное произведение 1×1×1×1×1×…, значение которого есть, конечно, просто 1.
Второй член: берем 1 из всех скобок, кроме первой. Из первой же возьмем 
. Это даст бесконечное произведение 
×1×1×1×1×…, которое равно просто .
Третий член: берем 1 из каждой скобки, кроме второй. А из второй возьмем 
. Это даст бесконечное произведение 1×
×1×1×1×…, что равно просто .
Четвертый член… Я думаю, понятно, что, если брать 1 из каждой скобки, кроме n-й, мы получим слагаемое равное 
, где p — n-е простое число. Итак, получилась бесконечная сумма вида (15.3):