Строки 21-28. Следующие несколько строк целиком посвящены гипотезе Линделёфа (ГЛ) — знаменитому предположению в теории дзета-функции. Его гипотеза касается роста дзета-функции в вертикальном направлении — т.е. вверх по вертикальной прямой в комплексной плоскости.
Линделёф, записав аргумент дзета-функции в виде σ + ti, задался таким вопросом: пусть задана вещественная часть σ (это, кстати, строчная греческая буква сигма); что можно сказать о величине ζ(σ + ti), когда t (мнимая часть аргумента) изменяется от нуля до бесконечности? «Величина» здесь понимается в смысле модуля, который мы определили в главе 11.v; другими словами, это означает |ζ(σ + ti)| — расстояние от значения дзета-функции до точки нуль. Это вещественное число, так что для всякой заданной σ и аргумент t, и значение |ζ(σ + ti)| — вещественные числа. Следовательно, можно нарисовать график. На рисунках от П1 до П8 показаны графики для некоторых характерных значений σ; эти графики иллюстрируют суть дела лучше всяких слов.
Рисунок П1.
Рисунок П2.
Рисунок П3.
Рисунок П4.
Рисунок П5.
Рисунок П6.
Рисунок П7.
Рисунок П8.
Обратим внимание на нетривиальные нули дзета-функции на рисунке П5. Стоит обратить внимание и на оживление, которое по сравнению с остальными демонстрируют рисунки от П4 до П6. Все интересное, что может случиться с дзета-функцией, происходит в критической полосе.
Кроме того, отметим некоторые знакомые значения при t = 0: 1/2 на рисунке П4 (что отвечает ζ(0) = −1/2 на рисунке 9.3, поскольку, разумеется, |−1/2| есть просто 1/2); бесконечность на рисунке П6 (расходимость гармонического ряда, глава 1.iii); 1,644934… на рисунке П7 (решение базельской задачи, глава 5.i); и 1,202056… на рисунке П8 (число Апери, глава 5.vi). Нулевое значение функции при t = 0 на рисунке П2 есть вещественный, тривиальный нуль дзета-функции (глава 9.vi). То, что кажется нулями на рисунках П1 и П3, на самом деле нулями не является; реально принимаемые там значения при t = 0 слишком малы, чтобы их можно было заметить. (Они соответственно равны 0,0083333… и 0,0833333….).
ГЛ — это утверждение об Ο большом (см. главу 15.ii) для этих графиков. Просто посмотрев на них, можно предположить следующее.
• При σ = −1, −2 и −3 график выглядит так, как если бы он был Ο большое от некоторой ускоренно растущей функции от t, может быть, степенной типа t2 или t5, причем эти степени, по-видимому, делаются все больше по мере того, как σ движется на запад вдоль отрицательной вещественной оси.
• При σ = 2 и 3 дело выглядит так, как будто у нас Ο(1), или, другими словами, Ο(t0).
• В критической полосе, т.е. при σ = 0, 1/2 и 1, нелегко сказать, какое Ο большое могло бы подойти.
Могло бы так случиться, чтобы для любого значения σ существовало определенное число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(tμ)? Так, чтобы μ = 0, когда σ больше 1, и чтобы μ было некоторым растущим положительным числом, когда σ уходит от нуля на запад. Вроде именно так дело и обстоит. Но что же происходит в критической полосе, когда а лежит между 0 и 1? И в частности, что происходит на критической прямой, когда σ = 1/2?
Ну что же, вот перед нами (рис. П9) все, что известно на момент написания книги. Для любого заданного значения σ действительно имеется число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(tμ+ε) для произвольно малого ε. Это не вполне то же самое, что предполагалось в предыдущем абзаце, но если вы не заметили разницы, то это простительно. (Однако если вспомнить про ε, которое появлялось у нас в главе 15.iii, то станет понятно его значение здесь). Несомненно, это число μ является функцией от σ. Отсюда и взялась функция Линделёфа μ(σ) в строке 21. Она, конечно, не имеет никакого отношения к функции Мебиуса μ из главы 15 — еще один прискорбный случай перегрузки символов.