Вы, должно быть, помните мои слова о том, что математики обожают все обращать. Если задано выражение P через Q, то как выразить Q через P? Именно так мы исходно и получили логарифмическую функцию — как обращение показательной функции. Если a = eb, тот как найти b через a? Как ln а.
Так вот, предположим, что мы продифференцировали функцию f и получили функцию g. То есть g представляет собой производную функции f. А f представляет собой… (что именно?!) функции g? В чем состоит обращение дифференцирования? Производная ln x — это 1/x, так что ln x — это… (что?) функции 1/x? Ответ: интеграл, вот что. Обращение производной — это интеграл, а обращение дифференцирования — это интегрирование. Поскольку вся эта деятельность прозрачна для умножения на фиксированное число, переворачивание таблицы 7.1 вверх ногами и некоторая ее «доводка» дадут нам обратную операцию, которая и представлена в таблице 7.2. И вообще, если только N не равно −1, то интеграл от функции xN равен xN+1/(N + 1). (Взгляд на таблицу еще раз показывает, как функция ln x изо всех сил старается вести себя как функция x0, каковой она, конечно, не является).
| Функция | Интеграл |
|---|---|
| x−3 | −1/2x−2 |
| x−2 | −x−1 |
| x−1 | ln x |
| x0 | x |
| x1 | 1/2x2 |
| x2 | 1/3x3 |
| x3 | 1/4x4 |
Таблица 7.2. Интегралы функций xN.
Если производные годятся для того, чтобы выражать наклон функции — т.е. скорость, с которой функция изменяется в данной точке, — то для чего же годятся интегралы? Ответ: для нахождения площадей под графиками.
Рисунок 7.3. Для чего пригодно интегрирование.
Функция, показанная на рисунке 7.3, а это в действительности функция 1/x4, т.е., другими словами, x−4, — ограничивает собой некоторую площадь между аргументами x = 2 и x = 3. Чтобы найти эту площадь, сначала надо найти интеграл от x−4. Согласно приведенному выше общему правилу, этот интеграл равен −1/3x−3, т.е. −1/(3x3). Эта функция, как и всякая другая, имеет значение для каждого x из своей области определения. Чтобы найти площадь между аргументами 2 и 3, надо вычислить значение интеграла при аргументе 3, затем вычислить значение интеграла при аргументе 2, а потом вычесть второе значение из первого.
При x = 3 значение функции −1/(3x3) равно −1/81, при x = 2 оно составляет −1/24. Вычитаем, не забывая, что вычесть отрицательное число — это все равно что прибавить соответствующее положительное: −1/81 − (−1/24) = 1/24 − 1/81, что равно 19/648, т.е. примерно 0,029321.
У математиков есть специальный способ для записи всей этой процедуры: 
, что читается как «интеграл от икс в минус четвертой степени по дэ-икс от двух до трех». (Не слишком озадачивайтесь этим самым «по dх» — назначение этих слов состоит в указании, что именно x является основной переменной, с которой мы работаем, и именно ее интеграл надо найти. Если под знаком интеграла окажутся еще другие переменные, то они будут там присутствовать праздно, интегрирование ведется не по ним. В главе 19 у нас появится такой пример.)