Образы симметрии
Все вещественные и эрмитовы неевклидовы пространства, группы движений которых простые группы Ли, изометричны симметрическим римановым или псевдоримановым пространствам, поэтому точки этих пространств являются образами симметрии. Образами симметрии являются также 0-пары ( т.е. пары точка + гиперплоскость) проективных пространств и m-пары (т.е.пары n-m-1)-мерная плоскости n-мерного проективного пространства. Отражение точки Х от 0-пары, состоящей из точки А и гиперплоскости U, переводит точку Х в точку X' прямой АХ, являющуюся четвертой гармонической для точек А, Х и точки пересечения прямой АХ с гиперплоскостью U. Отражение точки Х от m-пары, состоящей из плоскостей А и U, переводит точку Х в точку X' единственной прямой, проходящей через точку Х и пересекающей плоскости А и U, которая является четвертой гармонической для точки Х и точки пересечения упомянутой прямой А с плоскостями А и U.
В неевклидовых пространствах, являющихся метризованными проективными, образами симметрии являются также m-мерные плоскости, при m = 1 прямые линии образующие вместе с плоскостями полярными относительно абсолютов m-пары.
При рассмотрении вещественных и эрмитовых неевклидовых пространств с простыми группами движений я всегда находил образы симметрии этих пространств. Особенно просто это в случае пространст с компактными группами движений, так как инволютивные движения, определяющие образы симметрии этих пространств, определяют также некомпактные группы с той же комплексной формой, что и компактная простая группа Ли. Замечу, что диаграммы Сатаке для некомпактных простых групп Ли первоначально применялись для изучения симметрических римановых пространств с некомпактными простыми группами движений. Эти симметрические пространства допускают интерпретации в виде многообразий образов симметрии неевклидовых пространств с компактными группами движений.
Образами симметрии неевклидовых пространств кроме точек и m- мерых плоскостей являются паратактические конгруенции и n-цепи. Паратактические конгруенции имеют место в (2n + 1)-мерных вещественных эллиптических и комплексных эрмитовых эллиптических пространствах, они состоят из заполняющих все пространство паратактичных прямых, т.е. прямых с равными стационарными расстояниями. Симметриями относительно этих конгруенций в случае вественных пространств являются сдвиги на полупрямую вдоль прямых конгруенции, а в случае комплексных пространст - переходы от точек прямых линий конгруенции к диаметрально противоположным точкам сфер изометричным этим линиям.
Нормаьные n-цепи имеют место в n-мерных комплексных и кватернионных эрмитовых эллиптических пространствах. Эти образы состоят из точек с соответственно вещественными или комплексными координатами или являются фигурами, получяемыми из этих образов движениями пространства. Симметрии относительно нормальных n-цепей определяются переходами от комплексных координат к комплексно сопряженным и от кватернионных координат вида a+bi+cj+dk к координатам вида a+bi-cj-dk. Нормальные n-цепи изометричны, соответственно, n-мерным вещественному эллиптическому и комплексному эрмитову эллиптическому пространствам.
В проективных просранствах имеются также образы косимметрии - гиперквадрики и линейные комплексы прямых, симметриями относительно которых являются полярные преобразования относительно этих образов.
Две m-пары проективного пространства в основном случае обладают m + 1 директрисами - прямыми пересекающими все четыре плоскости m- пар. Директрисы являются геометрическими ковариантами двух m-пар, а двойные отношения точек их пересечения с плоскостями m-пар - числовыми инвариантами n-пар.
Общие перпендикуляры двух m-мерных плоскостей являются директрисами этих плоскостей и их полярных плоскостей, а стационарные расстояния двух m-мерных плоскостей определяются числовыми инвариантами соответственны m-пар.