Движения октонионной эрмитовой эллиптической определяются таким же образом, но матрица третьего преобразующая октонионы f(xi), получается "проектированием" октонионной матрицы 3-го порядка.
Координаты точек 2-мерных эрмитовых эллиптических и гиперболических плоскостей, группы движений которых являются особыми простыми группами Ли рангов 4, 6, 7 и 8, а также сами движения этих групп, определяются аналогично.
Образы симметрии компактных особых простых групп Ли имеют следующий вид.
В 6-мерном G-эллиптическом пространстве имется только один вид образов симметрии - точки.
В октонионной эрмитовой эллиптической плскости имеются два вида образов симметрии - точки и нормальные кватернионные 2-цепи, определяемые аналогично комплексным нормальным n-цепям кватернионного пространства.
В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр C и О имеются четыре вида образов симметрии - точки, октонионные нормальные 2-цепи, комплексно -кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от поля C к полю R и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.
плоскости порядка, унитарной
В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением алгебр H и О имеются также четыре вида образов симметрии - точки, комплексно-октонионные нормальные 2-цепи, кватернионно- кватернионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходами от тела H к полю C и от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи
определяются такими же переходами в обоих сомножителях тензорного произведения.
В эрмитовой эллиптической плоскости над тензорным произведением двух алгебр О имеются три вида образов симметрии - точки, кватернионно-октонионные 2-цепи и нормальные 2-бицепи. В этом случае нормальные 2-цепи определяются переходом от тела О к телу H в одном из сомножителей тензорного произведения, нормальные 2-бицепи определяются таким же переход в обоих сомножителях тензорного произведения.
Принципы двойственности и тройственности
Принцип двойственности n-мерной вещественной проективной геометрии связан с двусторонней симметрией диаграммы Дынкина простой группы класса An. Соглацно этому принципу гиперплоскости и m-мерные плоскости n-мерного пространства изображаются точки и (п-т-1)-мерные плоскости некоторого другого проективного прпстранства той же размерности.
Эта внутренняя симметрия в группе была ясна Э.Картану задолго до появления диаграммы Дынкина. Еще в 1925 г. Картан опубликовал статью "Принцип двойственности и теория простых и полупростых групп", в которой он обобщил принцип двойственности для простых групп Ли класса А на простые группы класса Dn и на простую группу Ли класса Е6. Диаграммы Дынкина этих групп также обладают двусторонней симметрией. В случае групп класса Dn двойственными образами являются плоские образующие максимальной размерности абсолюта, принадлежащие к двум разным семействам.
Простая группа класса Е6, локально изоморфна группе проективных преобразований 2-мерной октонионной проективной плоскости, на этой плоскости точки двойственны прямым линиям.
В случае простой группы класса D4 диаграмма Дынкина обладает трехсторонней симметрией. Для этой группы Картан в той же статье 1925 г. сформулировал принцип тройственности. Для 7-мерных вещественных эллиптического пространства и псевдоэллиптического пространства индекса 4, группы движений которых являются компактной и расщепленной группами этого класса, тройственными образами являются 3-мерные плоские образующие абсолюта двух семейств и точки абсолюта, Эти образы мнимы в эллиптическом пространстве и вещественнын в псевдоэллиптическом пространстве. В обоих случаях вещественными тройственными образами являются прямые и паратактические конгруенции двух семейств. Из последнего факта вытекает изоморфизм группы движений 7-мерного вещественного псевдоэллиптического пространства индекса 2 и группы симплектических преобразований 3-мерного кватернионного симплектического пространства, а также интерпретация Л.В.Румянцевой одного из этих пространств в другом.
Симплектическая и метасимплектическая геометрии Фрейденталя
В серии работ под общим названием "Отношения групп Е7 и Е8 к октонионной плоскости", опубликованной в 1954 -1963 гг., Фрейденталь нашел геометрические интерпретации некоторых некомпактных простых групп Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8 Фрейденталь ввел понятие 5-мерного октонионного симплектического пространства. Это пространство нельзя определить как проективное пространство с более узкой группой преобразований. так как над алгеброй О не существует проективных пространств размерности больше 2. Фрейденталь называл 5-мерным октонионным симплектическим пространством только аналог многообразия 2-мерных нуль-плоскостей 5-мерного кватернионного симплектического пространства. Фрейденталь доказал, что группа симплектических преобразований этого пространства является некомпактной простой группой Ли класса Е7 с характером -25.