Аполлоний доказал, что два конических сечения могут иметь не более 4 общих точек, а через 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой проходит единственное коническое сечение.
Аполлоний определял фокусы эллипса и гиперболы, как такие точки большой оси эллипса и вещественной оси гиперболы, которые лежат на поперечной стороне сечения, соответствующей этой оси, и обладают тем свойством, что произведение расстояний от этих точек до вершин сечения равно b2=ap и называл фокусы "точками начал приложений". Под приложениями он понимал прямоугольники, стороны которых равны расстояниям от фокуса до вершин сечения. Поэтому абсциссы х фокусов эллипса удовлетворяют условию x(2a-x)=ap и абсциссы х фокусов гиперболы удовлетворяют условию х(2а+х)=аp. Умножая обе части этих равенств на p/a мы получим в обоих случаях соотношение y2= p2, которое показывает, что в силу определения Аполлония, абсолютные величины ординат точек эллипсов и парабол, ординаты которых совпадают с ординатами фокусов, равны p.
Аполлоний доказал, что если вершины эллипса или гиперболы - точки А и B, касательные к сечениям в этих точках - прямые AC и BD, E - произвольная точка сечения, прямая CD - касательная к сечению в точке Е, а F и G - фокусы, то углы CFD и CGD - прямые для всех точек Е, а угол CEF равен углу GED.
В силу последнего равенства, если из одного фокуса эллипса выходят лучи света, то, отразившись от эллипса, они соберутся в другом его фокусе, и если в этом фокусе будет находится горючий материал, он загорится. Этим объясняется введенный Иоганнесом Кеплером (1571-1630) термин "фокус", происходящий от латинского слова focus - "очаг". В силу того же равенства, лучи, выходящие из фокуса гиперболы, отражаются от нее таким образом, что продолжения отраженных лучей пройдут через второй фокус гиперболы. Сам Аполлоний о свойствах световых лучей, выходящих из фокусов эллипса и гиперболы, не упоминал. Аполлоний доказал утверждения равносильные тому, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е сечения с абсциссами х в случае эллипса равны a+ex и a- ex, а в случае гиперболы равны ex+a и ex-a, где е - эксцентриситет эллипса, равный 1-p/a и эксцентриситет гиперболы, равный 1+p/a. Отсюда следует, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е эллипса и гиперболы равны произведениям е на расстояния от точек Е до прямых х = a/e и х =-a/e. Эти прямые в настоящее время называются директрисами эллипса и гиперболы.
Аполлоний не упоминал директрис, но указывал, что сумма фокальных радиусов-векторов точек эллипса и разность фокальных радиусов- векторов точек гиперболы постоянны и равны 2а.
Аполлоний не упоминал фокуса параболы и его свойств, в частности того свойства, которое использовал Архимед при обороне Сиракуз. По- видимому, Архимед, погибший при взятии Сиракуз римлянями, открыл это свойство фокуса параболы незадолго до своей гибели, и оно не было известно Аполлонию.
В V книги "Конических сечений"Аполлоний рассматривал проведение из любой точки плоскости нормалей к коническим сечениям, т.е. прямых перпендикулярных касательным в их точках касания. Аполлоний доказал, что отрезки этих нормалей являются минимальными или максимальными прямыми, проведенными из данных точек к коническим сечениям. Задача о проведении таких линий является частным случаем задачи об условном экстремуме, т.е. об определении максимума или минимума функции f(x,y) при условии, что переменные х, y связаны условием F(x, y) = 0.
Решение этой задачи в общем виде разработал Жозеф Луи Лагранж (1736 -1813), который свел ее к нахождению экстремума функции U(x, y) = f(x,y) + lF(x,y).
Вычисляя частные производные Ux и Uy для функции f(x,y) =(х -х0)2 + (y -y0)2
и для уравнения F(x,y) = 0 конического сечения, приравнивая Ux Uy' нулю и исключая из полученных равенств l, мы найдем уравнение той самой вспомогательной гиперболы, которую определил Аполлоний при проведении нормалей к коническому сечению из точки М с координатами хо и уо. Если это сечение пересекается с вспомогательной гиперболой в точках N и P, то искомыми нормалями являются прямые MN и MP.
Несомненно, что Лагранж разработал свой метод, изучая решение Аполлония, изложенное в V книге "Конических сечений", которая появилась в латинском переводе Галлея в 1710 г.
В том случае, когда точки N и P сливаются, т.е. вспомогательная гипербола касается конического сечения, отрезок MN называется радиусом кривизны конического сечения в точке N, а точка М называется центром кривизны сечения в точке N. В настоящее время геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой этой кривой.
Аполлоний сначала находит центр кривизны конических сечений в их вершинах и доказывает, что радиусы кривизны сечений в их вершинах равны половинам прямых сторон сечений, соответствующих осям, проходящим через эти вершины. Далее Аполлоний приводит пропорции равносильные уравнениям эволют параболы, эллипса и гиперболы. Эволюта параболы -полукубическая парабола, состоящая из двух вогнутых кривых, соединенных в точке возврата. Эволюта эллипса - астроида -замкнутая кривая, состоящая из четырех вогнутых кривых, соединенных попарно в точках возврата. Эволюта гиперболы - псевдоастроида, состоящая из двух ветвей, каждая из которых образована двумя вогнутыми кривыми, соединенными в точке возврата. Все эти кривые - алгебраические, первая - 3-го порядка, вторая и третья -6-го порядка. Точки возврата этих кривых - центры кривизны параболы, эллипса и гиперболы в их вершинах. Аполлоний не рассматривал строения этих кривых.