Определив синусы и тангенсы и приведя их таблицы, ал-Бируни формулирует правило квадратичного интерполирования этих таблиц, а затем приводит такое же правило "для всех таблиц", т.е. для всех рассматриваемых им функций. В следующих книгах "Канона Мас'уда" встречается большое число функций, являющихся комбинациями алгебраических и тригонометрических функций. Ал-Бируни называл функции "таблицами", так как задавал их с помощью таблиц. Изучению функциональных зависимостей, рассматриваемых в "Каноне Мас'уда", была посвящена кандидатская диссертация М.М.Рожанской.
В книгах "Канона Мас'уда" о движении Солнца, Луны и планет имеются главы, названия которых мы перевели как главы о наглядном представлении движения этих небесных тел. На самом деле в этих главах ал-Бируни изложил восходящую к "Планетным гипотезам" Птолемея теорию движения этих тел по трубам в массивных небесных сферах.
В "Книге вразумления" ал-Бируни подробно изложил технику астрологических предсказаний, а в конце этой части книги написал, что для удачного предсказания прежде всего следует выяснить, что хочет услышать клиент, но искусство астролога состоит в том, чтобы, умело воспользовавшись имеющимися в его распоряжении элементами произвола, получить нужный результат с помощью канонического алгоритма астрологических предсказаний.
Я и мои ученики много занимались трактатами ал-Бируни об астролябиях. Сам ал-Бируни считал свою "Книгу исчерпания всех возможных способов построения астролябии" настолько важной, что, находясь в Индии, перевел ее на санскрит для индийских ученых вместе с "Началами" Евклида и "Алмагестом" Птолемея. Эта книга и три другие сочинения ал-Бируни об астролябиях - "Книга о том, что превращает потенцию астролябии в действительность", "Книга о способе применения видов астролябии" и " Книга жемчужин о проектировании сферы на плоскость" были переведены на русский язык учеником М.А.Сабирова Садыкджаном Вахабовым, защитившим на основе изучения этих сочинений кандидатскую диссертацию.
В "Книге исчерпания" в разделе о построении "совершенной" астролябии ас-Сагани, в которой стереографическая проекция небесной сферы на плоскость из одного полюса сферы, применяемая в обычных астролябиях, заменена проектированием небесной сферы на плоскость из произвольной точки оси небесной сферы, ал-Бируни применяет проективное преобразование.
Омар Хайям
В главе "Баку" я упоминал, что первыми сочинениями, которые я перевел с арабского на руссий язык были три сочинения Омара Хайяма (1048- 1131). В 1962 г. я опубликовал в Москве сборник трактатов Хайяма, содержащий факсимиле рукописей и переводы двух математических трактатов, механического трактата, пяти философских трактатов, отрывка из астрономических таблиц, а также "Книги о новом годе".
В "Трактате о доказательстве задач алгебры и алмукабалы", Хайам дал классификацию кубических уравнений, имеющих положительные корни, и для каждого типа уравнений предложил решение с помощью пересечения двух конических сечений, являющихся окружностью, равносторонними гиперболами с горизонтальными и вертикальными осями или асимптотами и параболами с горизонтальными или вертикальными осями. При этом Хайям подчеркивал аналогию между окружностями и равносторонними гиперболами.
Геометрический трактат Хайяма "Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида" состоит из трех частей: 1) о теории параллельных линий, 2) о теории отношений, 3) о теории составных отношений.
В 1-й части Хайям предложил доказательство V постулата Евклида на основе более наглядного постулата Аристотеля. В этом доказательстве Хайям впервые рассматривал четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и двумя равными боковыми сторонами и три гипотезы о его равных верхних углах. Этот четырехугольник и три гипотезы рассматривал в XVIII веке Дж.Саккери. Как и в случае четырехугольника Ибн ал-Хайсама гипотеза острого угла выполняется в неевклидовой геометрии Лобачевского, гипотеза тупого угла - в неевклидовой геометрии Римана, а гипотеза прямого угла - в евклидовой геометрии.
Во 2-й части Хайям переоткрыл определение Теэтета равенства отношений, основанное на представлении отношений в виде непрерывных дробей и доказал эквивалентность этого определения и определения Евдокса, изложенного в V книге "Начал" Евклида. Обрывая непрерывные дроби можно получить рациональные приближения отношений с любой степенью точности.