Две группы, два поля или два кольца, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, сохраняющее их операции, называются изоморфными. Если между двумя гпуппами G и H установлено однозначное, но не взаимно однозначное соответствие, сохраняющее групповую операцию, группы называются гомоморфными. В этом случае элементы первой группы, соответствующие единице второй, образуют подгруппу N, называемую инвариантной подгруппой или нормальным делителем. Группа H называется фактор-группой группы G по ее подгруппе N и обозначается G/N Группа, в которой нет инвариантных подгрупп, называется простой группой. Аналогично определяется гомоморфизм колец, в этом случае роль инвариантных подгрупп играют идеалы колец. Изоморфные отображения групп, полей и колец на себя называются автоморфизмами. Группы в которых имеются цепочки вложенных друг в друга инвариантных подгрупп, причем все фактор-группы каждой инвариантной подгруппы по следующей коммутативны, называются разрешимыми группами.
Линейные пространства и алгебры
Коммутативная группа, в которой определено умножение на вещественные числа, причем имеют место дистрибутивный закон умножения относительно сложения и ассоциативный закон умножения, называется линейным или векторным пространством. Элементы этого пространства называются векторами, а вещественные числа - скалярами. Размерность этого пространства равна числу линейно независимых векторов. Принимая эти векторы за базисные, мы можем представить любой вектор в виде линейной комбинации базисных векторов. Коэффициенты такого разложения являются координатами векторов в данном базисе.
Скалярная линейная функция от элементов линейного пространства записывается в виде j =ux, где х - вектор данного пространства, u - ковектор, т.е. вектор пространства, сопряженного с данным, выражение ux называется сверткой ковектора u и вектора х.
Скалярная полилинейная функция Ф р векторов и q ковекторов определяет тензор р-й ковалентности q-й валентности, коэффициенты функции Ф называются координатами тензора.
Функция Ф при р=2, q=0 называется билинейной формой.
Автоморфизмами линейного пространства являются его линейные преобразования x'=Ax, где А - линейный оператор.
Линейные операторы определяют тензоры, для которых р=q = 1.
Кольцо, являющееся линейным пространством при условии коммутативности умножения в кольце и умножения на скаляры в линейном пространстве, называется алгеброй или системой гиперкомплексных чисел.
Прямой суммой А+В двух алгебр А и В размерностей m и n называется алгебра размерности m+n, базис которой состоит из базисов алгебр А и B, причем все произведения базисных элементов разных прямых слагаемых равны 0.
Тензорным произведением АВ тех же двух алгебр А и В называется алгебра размерности mn, базисные элементы которой - произведения базисных элементов алгебр А и B, причем базисные элементы тензорных сомножителей коммутируют между собой.
Примерами алгебр являются:
алгебра С' двойных чисел а+be, e2= + 1, изоморфная прямой сумме R+R двух полей R,
алгебра М(п) вещественных матриц n-го порядка,
алгебра Н' псевдокватернионов a+bi+ce+df, i2=-1, e2= + 1, ie=-ei=f, изоморфная алгебре М(2),
алгебры СМ(п) и НМ(п) комплексных и кватернионных матриц n-го порядка, являющиеся тензорными произведениями алгебры M(n) на, соответственно, алгебру С или Н,
алгебра Cо дуальных чисел a+be, e2=0,
алгебра Но полукватернионов a+bi+ce+dh, i2=-1, e2=0, ie =-ei=h.
Алгебра A(n) альтернионов или чисел Клиффорда порядка n имеет размерность 2n-1, ee базис состоит из 1, i1,i2,...,in-1 для которых ik2= -1, и произведений различных одноиндексных элементов, причем ihik=-ikih. Aлгебры А(п) при n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 изоморфны, соответственно, полям R и С, телу Н и алгебрам Н + Н, HM(2), CM(4), М(8) и М(8)+М(8).
Заменяя в определении алгебры А(п) k элементов ih элементами еh для которых eh2= +1, мы получим алгебру A(n-k, k) псевдоальтернионов порядка n и индекса k. Алгебры А(1,1) и А(2,1) изоморфны, соответственно, алгебрам C' и H'.