Заменяя в определении линейного пространства поле R скаляров полем C или телом H мы получим комплексное или кватернионное линейное пространство.
Заменяя в определении линейного пространства поле скаляров алгеброй с делителями нуля, мы получим модуль. В модулях имеются особенные векторы, которые не равны 0, но их произведения на делитель нуля, могут быть равны 0.
Пространства над алгебрами
Аффинное пространство над алгеброй можно определить как множество элементов, называемых точками, ассоциированное с линейным пространством или модулем, причем всяким двум точкам А и В соответствует вектор а=АВ, всякой точке А и вектору а соответствует такая точка В, что а=АВ, и для всяких трех точек А, В и С сумма векторов АВ и ВС равна вектору АС.
Прямой линией аффинного пространства над алгеброй называется такое множество точек, что для любых двух точек А и В этого множества вектор АВ коллинеарен с некоторым вектором линейного пространства или с неособенным вектором модуля ; m-мерной плоскостью называется такое множество точек, что для любых двух точек А и В этого множества вектор АВ является линейной комбинацией m линейно независимых векторов линейного пространства или модуля.
Аффинные преобразования аффинного пространства имеют вид x'=Af(x) + b, где А и b - линейный оператор и вектор линейного пространства или модуля, a f(x) - автоморфизм алгебры.
Две прямые линии или m-мерные плоскости называются параллельными, если они определяются одними и теми же линейно независимыми векторами линейного пространства или модуля. Одну из двух параллельных линий или плоскостей можно перевести в другую параллельным переносом x'=x+a.
В афинных пространствах над алгебрами с делителями нуля имеются смежные точки и смежные и расходящиеся прямые линии. Две точки А и В называются смежными, если вектор АВ особенный. Две прямые линии называются смежными, если они содержат смежные точки. Две прямые линии называются расходящимися, если они не имеют общих точек, но могут быть переведены параллельным переносом в смежные прямые линии.
Проективное пространство над алгеброй является результатом дополнения аффинного пространства бесконечно удаленными и идеальными точками, причем каждая система параллельных линий имеет одну общую бесконечно удаленную точку, а идеальные точки, которые имеются только в случае алгебр с делителями нуля, определяются смежными прямыми. Точки n-мерного проективного пространства представляются векторами (n + 1)-мерного аффинного пространства с точностью до правых скалярних множителей. Прямые линии и m- мерные плоскости проективного простраства представляются 2-мерными и (m+1) -мерными подпространствами линейного пространства или подмодулями модуля.
Так как бесконечно удаленные точки, которыми дополнено аффинное пространство, представляются векторами m-мерного линейного подпространства или подмодуля, эти бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удаленную гиперплоскость проективного пространства. Идеальные точки представляются векторами, определяющими прямые смежные с прямыми, которые определяются векторами, представляющими бесконечно удаленные точки.
Проективные преобразования имеют вид x'=Af(x), где А - линейный оператор (n + 1)-мерного линейного пространства или модуля, а f(x) - автоморфизм алгебры.
Гиперплоскости, т.е. (n-1)-мерные плоскости аффинных и проективных пространств, определяются соответственными уравнениями ux+v=0 и ux=0, где u - ковектор линейного пространства или модуля, т.е. вектор пространства или модуля, сопряженного с рассматриваемым. В случае проективного пространства ковектор u определен с точностью до левых скалярных множителей, на этом основан принцип двойственности проективного пространства.
Если в аффинном пространстве над коммутативной алгеброй определено скалярное произведение векторов (a,b)=(b,a), т.е. скалярный квадрат (а,а) является квадратичной формой, мы получаем квадратичное евклидово или псевдоевклидово пространство.
Если в алгебре имеется инволюция, т.е.такой переход от всякого элемента х к элементу х*, что (х*)* =х и (xy)* =y*x*, и в аффинном пространстве над этой алгеброй определено скалярное произведение (a,b) = (b,a)*, т.е. скалярный квадрат является эрмитовой формой, мы получаем эрмитовы евклидовы и псевдоевклидовы пространства.
Если такие же скалярные произведения векторов определены в проективном пространстве над коммутативной алгеброй или над алгеброй с инволюцией, мы получаем квадратичные и эрмитовы неевклидовы пространства, т.е. эллиптические, гиперболические, псевдоэллиптические и псевдогиперболические пространства.
Если скалярное произведение таково, что (a,b)= -(b,a) или (a,b)=- (b,a)*, то мы получаем квадратичное или эрмитово симплектическое пространство.