Геометрия пространств с делителями нуля в значительной степени разработана в моих книгах 1955 и 1997 гг., а также в работах моих учеников.
Вещественные пространства и многообразия
В случае вещественного евклидова пространства скалярный квадрат (а,а) является положительно определенной квадратичной формой, а в случае вещественного псевдоевклидова пространства (а,а) - знаконеопределенная квадратичная форма, и если индекс этой формы равен k, псевдоевклидово пространство называется пространством индекса k. Пространство-
время специальной теории относительности является 4-мерным псевдоевклидовым пространством индекса 1.
Расстоянием между точками A и В называется квадратвый корень из склярного квадрата (а,а) вектора а = AB. Преобразования этих пространств, сохраняющие расстояния между их точками, называются движениями. Движения этих пространств являются частными случаями их аффинных преобразований.
Вещественное эллиптическое пространство (неевклидово пространство Римана) размерности n можно определить как гиперсферу (x,x)=r2 с отождествленными диаметрально противоположными точками в (n + 1)- мерном евкидовом пространстве. Роль прямых линий и m-мерных плоскостей эллиптического пространства играют большие круги и большие m-мерные сферы гиперсферы. Движения эллиптического пространства определяются вращениями гиперсферы.
Гиперболическое пространство (неевклидово пространство Лобачевского) можно определить как гиперсферу мнимого радиуса (x,x)= - q2 в (n +1)-мерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Прямые линии и m-мерные плоскости гиперболического простраства определяются сечениями гиперсферы мнимого радиуса ее диаметральными 2-мерными и (m + 1)-мерными плоскостями Движения гиперболического пространства определяются вращениями гиперсферы мнимого радиуса. Гиперсфера мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве индекса 1 имеет вид двуполостного гиперболоида и состоит из двух полостей. Лобачевский определял открытое им пространство не с помощью псевдоевклидова пространства, которое в его время было неизвестно, а как пространство, получаемое из евклидова при отказе от V постулата Евклида (аксиомы параллельности). Лобачевский заметил, что формулы тригонометрии в его пространстве могут быть получены из формул обычной сферической тригонометрии, если считать радиус сферы чисто мнимым числом.
Так как точки гиперсферы мнимого радиуса в пространстве-времени специальной теории относительности изображают скорости движущихся материальных точек, закон сложения скоростей в специальной теории относительности эквивалентен одной из тригонометрических формул пространства Лобачевского.
О многомерных евклидовом и неевклидовых пространствах мечтал поэт Валерий Брюсов, который в стихотворении "Мир N измерений" писал: Ширь, глубь, высь - лишь три координаты. Дальше хода нет. Засов закрыт. С Пифагором слушай сфер сонаты, Атомам дли счет, как Демокрит. Путь по числам - приведет нас в Рим он, Все пути ума ведут туда. То же в новом - Лобачевский, Риман. Та же в зубы узкая узда. Но живут, живут в N измереньях Люди воль, циклопы мысли, те, Кому жалки мы с ничтожным зреньем. С нашим шагом по одной черте.
Лобачевский действительно рассматривал только трехмерное гиперболическое пространство, но Эудженио Бельтрами еще в 1868 г. рассмотрел n-мерное гиперболическое пространстно, а Риман в своей знаменитой лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии" рассматривал n-мерные пространства переменной кривизны, называемые теперь римановыми пространствами, и n-мерные пространства постоянной кривизны, к которым относится эллиптическое пространство как их частный случай.
Заменяя в определении n-мерных эллиптического и гиперболического пространств (n +1)-мерные евклидово пространство и псевдоевклидово пространство индекса 1 псевдоевклидовыми пространствами индексов k и k+1, мы получим псевдоеллиптическое и псевдогиперболическое пространства индекса k. Прямые линии, m-мерные плоскости и движения в этих пространствах определяются так же как в гиперболическом пространстве.
Если рассмотреть проективное пространство, точки которого представляются векторами, направленными по радиусам гиперсфер, мы получим проективные модели неевклидовых пространств. В этих моделях эллиптическое пространство изображается полным проективным пространством, а остальные неевклидовы пространства изображаются областями проективного пространства, ограниченными гиперквадриками (х,х)=0, называемыми абсолютами неевклидовых пространств. Абсолют имеется и в эллиптическом пространстве, но в этом случае он является мнимой гиперквадрикой.