Элемент а алгебры Ли полупростой группы Ли называется регулярным, если множество элементов b этой алгебры, для которых [ab]=0, имеют наименьшую размерность. Эта наименьшая размерность называется рангом полупростой группы Ли. Указанное подмножество элементов алгебры Ли полупростой группы Ли, называется подалгеброй Картана этой алгебры, а коммутативная подгруппа группы Ли, соответствующая этой подалгебре, называется подгруппой Картана.
Если h - элемент подалгебры Картана Н алгебры Ли полупростой группы Ли G, а g - произвольный элемент этой алебры Ли, то коммутатор [hg] является векторной линейной функцией элемента g и может быть записан в виде Аg, где А - линейный оператор. Для всех элементов h соответственные операторы А имеют одни и те же собственные векторы, а собственные числа операторов А, соответствующих одному и тому же собственному вектору, являются линейными формами j =uh на линейном пространстве Н, где - u ковектор, определяющий линейную форму. Формы j называются корневыми формами группы G. Так как ковекторы u в случае евклидовой или псевдоевклидовой метрики в подалгебре Н, порождаемой метрикой Картана в группе G, можно рассматривать как векторы, то ковекторы u называют корневыми векторами группы G.
В случае, когда группа G компактна, ее корневые формы и корневые векторы чисто мнимы, и корневые векторы могут быть записаны в виде u = iv.
В случае, когда группа G некомпактна, ее корневые формы и корневые векторы могут быть вещественными, чисто мнимыми и комплексно сопряженными.
В случае, когда группа G некомпактна и все ее корневые векторы вещественны, группа называется расщепленной. Характеры расщепленных простых групп всегда равны рангам этих групп. Характеры компактных полупросных групп Ли равны произведениям размерностей этих групп на - 1.
Корневые векторы комплексных и компактных простых групп Ли образуют корневые системы, определяемые диаграммами Е.Б.Дынкина.
Корневые системы комплексных простых групп Ли всегда расположены в вещественном подпространстве подалгебры Картана. В этом подпространстве можно ввести систему координат и говорить, что вектор а больше вектора b, если из первых неравных координат этих векторов координата вектора а больше координаты вектора b. Вектор называется положительным или отрицательным, если он, соответственно, больше или меньше нулевого вектора. Согласно Дынкину корневой вектор называется простым, если он положителен и его нельзя представить в виде суммы двух положительных корневых векторов. Число положительных простых корневых векторов простой группы Ли всегда равно рангу группы.
В диаграммах Дынкина комплексных простых групп Ли каждый простой корневой вектор изображается точкой. Эти точки не соединяются линиями, если векторы ортогональны, соединяются 1, 2 и 3 линиями, если угол между векторами равен, соответственно, 2п/3, 3п/4 и 5п/6. В двух последних случаях векторы, изображаемые точками, имеют различную длину, и между точками, изображающими эти векторы ставится знак >. В случае компактных простых групп Ли такие же диаграммы строятся для вещественных векторов v.
Корневые системы некомпактных простых групп Ли изображаются диаграммами И.Сатаке - видоизмененными диаграммами Дынкина, в которых точки, изображающие вещественные и чисто мнимые корневые векторы, соответственно, белые и черные, а точки, изображающие комплексно сопряженные векторы, - белые, соединенные дугой с двумя стрелками в ее концах.
Как показали В.Киллинг и Э.Картан имеются 4 бесконечные серии алгебр Ли простых комплексных групп Ли, называемых группами классов An, Bn, Cn и Dn и 5 отдельных алгебр Ли простых комплексных групп Ли классов G2, F4, E6, E7, E8, где нижние индексы равны рангам групп. Группы классов An, Bn, Cn и Dn называются классическими простыми группами Ли, а группы пяти последних классов называются особыми простыми группами Ли.
Каждая из этих комплексных групп является комплексной формой нескольких локально изоморфных компактных групп и нескольких локально неизоморфных некомпактных групп.
Классические простые группы Ли
Группы классов A1, B1, C1 локально изоморфны; локально изоморфны также группы классов B2 и C2, и группы классов A3 и D3. Группа класса D2 полупроста и изоморфна прямому произведению двух групп класса A1. Группа класса D1 проста, но не полупроста, эта группа коммутативна и состоит из комплектных чисел cost + isint. Поэтому при перечислении простых полупростых групп Ли группы класса Ап можно начинать с группы A1, группы класса Bn можно начинать с группы B2 группы класса Cn можно начинать с группы C3 и группы класса Dn можно начинать с группы D4.