(ДЛЯ ЛЮБИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ)
Приложение состоит из трех разделов.
В первом разделе приводятся основные формулы реактивного движения. Эти формулы позволяют определить необходимый запас топлива на космической ракете для достижения ею заданной скорости или, наоборот, скорость, которая может быть достигнута данной космической ракетой как одноступенчатой, так и многоступенчатой. Кроме того, приводятся формулы для определения силы тяги различных реактивных двигателей. Таким образом, в этом разделе сообщаются основные сведения, необходимые для расчета космического корабля и его двигателя. Эти сведения нужны, в первую очередь, конструктору корабля и его бортинженеру.
Во втором разделе приводятся основные формулы, определяющие законы движения тела в поле тяготения другого тела, то есть формулы небесной механики, преобразованные для решения задач астронавтики. Эти формулы позволяют решать задачи, связанные с полетом межпланетного корабля — находить траекторию его движения, величину скорости в различные моменты времени, продолжительность полета. Такие сведения нужны, прежде всего, штурману межпланетного корабля.
Наконец, в третьем разделе сообщаются основные сведения из области астрономии, нужные астронавту, прежде всего, для характеристики возможных целей его будущих полетов — планет солнечной системы и их спутников, а также некоторых звезд.
В наиболее важных случаях формулы даются с выводами, если они не требуют использования высшей математики. Это должно помочь лучшему усвоению физической закономерности, описываемой данной формулой.
Приводятся также примеры, иллюстрирующие применение формул.
Раздел первый
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ И РЕАКТИВНОЙ ТЕХНИКИ
I. ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО — ОСНОВНОЙ ЗАКОН РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ (РАКЕТОДИНАМИКИ)
Формула служит для определения скорости ракеты.
В этой формуле
V — конечная скорость ракеты, которую она приобретает после выработки всего имеющегося на ней топлива. При этом полет ракеты считается происходящим в пространстве, в котором нет среды, оказывающей сопротивление полету, то есть атмосферы, и не действуют силы тяготения. Такое условное пространство Циолковский называл свободным. Эти условия существуют в мировом пространстве на достаточном удалении от звезд;
С — скорость истечения газов из сопла ракетного двигателя. Величины С и V должны исчисляться в одинаковых единицах; обычно такой единицей является м/сек или км/сек;
M нач. — начальная, или взлетная, масса ракеты, то есть ее масса до запуска двигателя (с полным запасом топлива);
M кон. — конечная масса ракеты, то есть ее масса после остановки двигателя из-за выработки всего топлива, находившегося на ракете. Значит,
(М топл. — масса топлива, запасенного на ракете перед стартом).
В литературе можно встретить и другие выражения для этой формулы, вытекающие из приведенной выше:
(m — отношение масс,
часто это отношение называют «числом Циолковского»);
(In — натуральный логарифм);
(е — 2,71828… основание натуральных логарифмов).
Иногда вводится понятие относительного запаса топлива μT, показывающего, какая часть взлетного веса ракеты приходится на долю топлива. Очевидно,
1. Скорость истечения газов из двигателя равна 2,5 км/сек, необходимая конечная скорость ракеты 15 км/сек. Каковы должны быть отношение начальной и конечной масс ракеты и относительный запас топлива на ракете?
Воспользуемся формулой V = 2,3·C·lgm.
15 = 2,3·2,5·lgm; lgm = 2,6; m≈400.
то есть вес топлива составляет 99,75 процента взлетного веса ракеты.
Такую ракету построить нельзя.
2. Отношение масс ракеты m= 10. Какова должна быть скорость истечения газов, чтобы ракета достигла скорости 8 км/сек?
Воспользуемся формулой V = 2,3·C·lgm.
Такую скорость истечения можно получить с помощью высококалорийных топлив.