17. Решение задачи о рыцарях-близнецах
(а). Обозначим близнецов через A к B. Пусть A занимает высшую ступень турнирной лестницы. Если B занимает смежное место, что происходит с вероятностью 1/7, то они заведомо встретятся в первом туре. Вероятность того, что B находится в паре, соседней с парой A, равна 4/7, и вероятность того, что они встретятся в этом случае, равна 1/7, так как для осуществления этого события каждый должен победить в первом поединке. Наконец, вероятность того, что B находится в нижней половине, равна 4/7, и в этом случае вероятность встречи равна 1/24 = 1/16, так как оба должны выиграть в двух турах. Таким образом, полная вероятность встречи равна
(б). Заметим, что в турнире двух рыцарей близнецы заведомо встретятся. При 2² = 4 участниках вероятность такого поединка равна ½, для случая 2³ = 8 рыцарей, как уже было подсчитано, вероятность равна 1/4 = 1/2n. Кажется естественным предположить, что в турнире 2n рыцарей искомая вероятность равна 1/2n − 1.
Докажем справедливость этого предположения с помощью метода математической индукции. Рассмотрим сначала случай, когда рыцари находятся в разных половинах турнирной лестницы. Как известно из задачи о теннисных турнирах, эта вероятность равна 2n − 1/(2n − 1). Если A и B находятся в разных половинах турнирной лестницы, то они могут встретиться лишь в финальном поединке. Вероятность выйти в финал для каждого рыцаря есть 1/2n − 1, так как для осуществления этого события необходимо выиграть во всех предыдущих турах. Вероятность того, что A и B достигнут финала, равна (1/2n − 1)² = 1/22n − 2. Итак, вероятность встречи рыцарей из разных половин таблицы равна
[2n − 1/(2n − 1)]·(1/2n − 2).
К этой вероятности следует прибавить вероятность поединка близнецов, которые оказались записанными в одну и ту же половину таблицы. Вероятность последнего события равна (2n − 1 − 1)/(2n − 1), и, согласно индукционному предположению, вероятность схватки между близнецами в турнире из n − 1 тура равна 1/2n − 2. Итак, вероятность встречи равна
что и доказывает наше утверждение.
18. Решение задачи о равновесии при бросании монет
Расположим 100 монет в ряд слева направо и будем бросать каждую. Вероятность какой-то заданной последовательности, составленной из 100 гербов и решек, равна (1/2)100 в силу независимости испытаний. Например, вероятность того, что вначале выпадет 50 гербов и затем 50 решек, равна (1/2)100. Сколькими способами можно расположить 50 гербов и 50 решек в строку? В решении задачи 8 мы видели, что это число равно соответствующему биномиальному коэффициенту. Мы получаем
Следовательно, вероятность равного числа гербов и решек равна
Используя таблицы, получаем 0.07959 ≈ 0,08.
Для расчета больших значений факториалов часто пользуются формулой Стирлинга
где e — основание натуральных логарифмов. Относительная погрешность этой формулы приблизительно равна 100/(12n) %. Применим формулу Стирлинга к расчету вероятности равновесия
Так как 1/√2π ≈ 0.4, то наша приближенная формула дает 0.08, как и раньше. Более точное приближение с точностью до четвертого знака дает 0.0798 вместо 0.0796. Вывод формулы Стирлинга имеется в любом учебнике по дифференциальному и интегральному исчислению.
19. Решение задачи Сэмуэля Пепайса
Когда-то Сэмуэль Пепайс послал Ньютону длинное и запутанное письмо по поводу новых игр с костями, которые он собирался опробовать. Для выяснения, какая из них выгоднее, Пепайсу нужен был ответ на сформулированный в условии задачи вопрос. Детали истории можно найти, например, в статье «Samuel Pepys, Isaac Newton and Probability», в журнале «American Statistician», Vol. 14, № 4, Oct., 1960. На эту тему есть и другая литература. Насколько я знаю, решение этой задачи — единственная работа Ньютона по теории вероятностей.